高等数学·5 多元函数微分学 PART.1

考纲内容

• 多元函数的概念
• 二元函数的几何意义
• 二元函数的极限与连续的概念
• 有界闭区域上多元连续函数的性质
• 多元函数的偏导数和全微分
• 全微分存在的必要条件和充分条件
• 多元复合函数
• 隐函数的求导法
• 二阶偏导数
• 方向导数和梯度
• 空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线
• 二元函数的二阶泰勒公式
• 多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用

一、多元函数的基本概念

0x00 平面点集

1. 平面点的邻域

平面点的邻域：设 $P_0(x_0,y_0)$$P_0(x_0,y_0)$ 是 $xOy$$xOy$ 平面上的一个点，$\delta \in (0,+\mathrm{\infty })$$\delta\in(0,+\infty)$，与点 $P_0$$P_0$ 的距离小于 $\delta$$\delta$ 的所有点 $P(x,y)$$P(x,y)$ 的集合称作 $P_0$$P_0$ 的邻域，记作 $U(P_0,\delta )$$U(P_0,\delta)$。其等价定义有：

2. 点与点集的关系

任意一点 $P\in {\mathbb{R}}^2$$P\in \R^2$ 与任意一个点集 $E\subset {\mathbb{R}}^2$$E\subset\R^2$ 必然有以下三种关系之一：

• 内点：存在点 $P$$P$ 的一个邻域 $U(P)\subset E$$U(P)\subset E$，则称 $P$$P$ 为 $E$$E$ 的内点
• 外点：存在点 $P$$P$ 的一个邻域 $U(P)\cap E=\mathrm{\varnothing }$$U(P)\cap E=\empty$，则称 $P$$P$ 为 $E$$E$ 的外点
• 边界点：对于任意 $P$$P$ 的邻域 $U(P)$$U(P)$ ，既含有属于 $E$$E$ 的点，又含有不属于 $E$$E$ 的点，就称 $P$$P$ 为 $E$$E$ 的边界点。

$E$$E$ 的边界点的全体，称作 $E$$E$ 的边界，记为 $\partial E$$\part E$（边界点未必是点集 $E$$E$ 内的点，也就是 < 和 ≤ 的区别）

如果 $P$$P$ 的任一去心邻域中总有 $E$$E$ 中的点，则称 $P$$P$ 是 $E$$E$ 的聚点，聚点包括内点和边界点

3. 点集相关概念的定义

• 开集：如果点 $E$$E$ 的点都是 $E$$E$ 的内点，称 $E$$E$ 为开集（类别开区间）

• 闭集：如果点集 $E$$E$ 的边界 $\partial E\subset E$$\part E\subset E$，则称 $E$$E$ 为闭集（类比闭区间）

  注意：$\{(x,y)|1<x^2+y^2\le 2\}$$\{(x,y)|1<x^2+y^2\le 2\}$ 并非开集也并非闭集，因此命题“一个点集不是开集就是闭集”是错误的

• 连通集：如果点集 $E$$E$ 内的任意两点都可以用折线连接起来，且该折线上的任何点都 $\in E$$\in E$，则称 $E$$E$ 为连通集

• 区域：连通的开集称为区域或者开区域

• 闭区域：连通的闭集称为闭区域

• 有界集：对于平面点集 $E$$E$，如果 $\mathrm{\exists }r>0,E\subset U(O,r)$$\exist r>0,E\subset U(O,r)$，其中 $O$$O$ 是坐标原点，则称 $E$$E$ 是有界集

• 无界集：一个点集如果不是有界集，那就是无界集

举例：

• $\{(x,y)|1\le x^2+y^2\le 2\}$$\{(x,y)|1\le x^2+y^2\le2\}$ 是无界闭区域
• $\{(x,y)|x+y>0\}$$\{(x,y)|x+y>0\}$ 是无界开区域
• $\{(x,y)|x+y\ge 0\}$$\{(x,y)|x+y\ge0\}$ 是无界闭区域

0x01 多元函数的概念

考纲摘要：

1. 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义
2. 了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质

1. 多元函数的定义

设 $D$$D$ 是 ${\mathbb{R}}^2$$\R^2$ 的一个非空子集，称映射 $f:D\to \mathbb{R}$$f:D\to \R$ 为定义在 $D$$D$ 上的二元函数，记作：

其中点集 $P$$P$ 就是函数的定义域，$x,y$$x,y$ 是自变量，$z$$z$ 是因变量，而值域可以定义为：

2. 二元函数的极限

假设二元函数 $z=f(x,y)$$z=f(x,y)$ 的定义域是 $D$$D$，$P_0(x_0,y_0)$$P_0(x_0, y_0)$ 是 $D$$D$ 的聚点，如果

就称 $A$$A$ 是函数 $z=f(x,y)$$z=f(x,y)$ 在 $(x,y)\to (x_0,y_0)$$(x,y)\to(x_0,y_0)$ 时的极限，记作：

就称之为二重极限

关于二元函数的极限，需要注意的是，当 $x,y$$x,y$ 以任意方式趋于 $P_0$$P_0$ 时（例如沿着曲线 $y=f(x)$$y=f(x)$ 趋向 $P_0$$P_0$，当然，这个曲线需要包含 $P_0$$P_0$ ），极限均存在且相等，才能说该二元函数在 $P_0$$P_0$ 处的极限存在。

一个例子：

$$\begin{array}{c}f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2},& x^2+y^2\ne 0\\ 0,& x^2+y^2=0\end{array}\end{array}$$

尝试计算

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}f(x,y)$$

如果 $x,y$$x,y$ 沿着直线 $y=kx$$y=kx$ 趋于 $(0,0)$$(0,0)$，则：

$$\underset{y=kx}{\phantom{\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}}\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}}\frac{xy}{x^2+y^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{k{X}^2}{x^{2}k{K}^2{x}^2}=\frac{k}{1+k^2}$$

因此，这个极限是不存在的。

3. 多元函数的连续性

设二元函数 $f(P)=f(x,y)$$f(P)=f(x,y)$ 的定义域为 $D$$D$，$P_0(x_0,y_0)$$P_0(x_0,y_0)$ 是 $D$$D$ 的聚点，且 $P_0\in D$$P_0\in D$，如果：

则称 $f(x,y)$$f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$$P_0(x_0,y_0)$ 上连续，如果 $f(x,y)$$f(x, y)$ 在 $D$$D$ 的每一点上都连续，就称之在 $D$$D$ 上连续 如果函数 $f(x,y)$$f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$$P_0(x_0, y_0)$ 不连续，那么称 $P_0(x_0,y_0)$$P_0(x_0, y_0)$ 为函数 $f(x,y)$$f(x, y)$ 的间断点 多元初等函数在它们的定义区域内都是连续的

有界闭区间上连续的多元函数的性质：

• 有界性与最大值最小值定理：有界闭区域 $D$$D$ 上的多元连续函数，必定在 $D$$D$ 上有界，且能取得其最大值和最小值

• 介值定理：有界闭区域 $D$$D$ 上的多元连续函数必定可以取得最大值和最小值间的任意值

• 一致连续性定理：有界闭区域 $D$$D$ 上的多元连续函数必定在 $D$$D$ 上一致连续。 所谓一致连续就是：

  $$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }{P}_1,P_2\in D,|P_1{P}_2|<\delta \to |f(P_1)-f(P_2)|<\epsilon$$

二、偏导数

0x00 偏导数的定义

考纲摘要：理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

定义式：

记作：

这样，

就记作对自变量x的偏导函数，简称偏导数

由于一元函数的”趋近“，只有两个方向，因此导数在某点存在是函数在某点连续的充分条件 但是二元函数的”趋近“有无限个方向，因此偏导数在某点存在只是函数在某点某方向存在偏导，与函数的连续性没有直接关系

0x01 高阶偏导数

其中第二个和第三个称作混合偏导数 如果两个混合偏导数在同一区域内连续，那么两个混合偏导数相等，在这种情况下，高阶偏导数与求导顺序无关

三、全微分

考纲摘要：理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

由偏导数的定义，可知：

• 两式的左边分别叫做二元函数对 $x$$x$ 和对 $y$$y$ 的偏增量
• 两式的右边分别叫做二元函数对 $x$$x$ 和对 $y$$y$ 的偏微分

0x00 全微分的定义

全增量与全微分的定义如下：

设函数 $z=f(x,y)$$z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$$(x,y)$ 的某邻域内有定义，如果函数在点 $(x,y)$$(x,y)$ 的全增量 $\mathrm{\Delta }z=f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)$$\Delta z = f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)$ 可以表示为：

其中，$A,B$$A,B$ 不依赖于 $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y$$\Delta x,\Delta y$，只与 $x,y$$x,y$ 有关，则称函数 $z=f(x,y)$$z=f(x,y)$ 在 $(x,y)$$(x,y)$ 处可微分， 而 $A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y$$A\Delta x+B\Delta y$ 称作函数 $f(x,y)$$f(x,y)$ 在 $(x,y)$$(x,y)$ 上的全微分，记作 $\mathrm{d}z$$\mathrm dz$，即 $\mathrm{d}z=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y$$\mathrm dz=A\Delta x+B\Delta y$ 如果函数 $z=f(x,y)$$z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$$(x,y)$ 可微分，则函数在这个点上必定连续

0x01 全微分的性质

• 如果函数 $z=f(x,y)$$z = f(x, y)$ 在点 $(x,y)$$(x, y)$ 处可微分，那么该函数在点 $(x,y)$$(x, y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$$\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$$\frac{\partial z}{\partial y}$ 必定存在，且全微分为：

  $$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{\Delta }x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{\Delta }y$$

• 如果函数 $z=f(x,y)$$z = f(x, y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$$\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$$\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x,y)$$(x, y)$ 连续，那么函数在该点可微分

通过以上性质，我们一般将全微分的形式写成：

这叫做叠加原理，对于多元函数$u=f(x_1,x_2,...,x_n)$$u=f(x_1, x_2, ..., x_n)$，其全微分也可以写成：

0x02 例题

设 $z=f(x,y)$$z=f(x,y)$ 连续且

求 $\mathrm{d}z{|}_{(1,0)}$$\mathrm dz|_{(1,0)}$

设 $\rho =\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$$\rho=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$，由于函数的连续性，可以推知 $f(1,0)=2$$f(1,0)=2$，且有：

由可微的定义可知，$\mathrm{d}z{|}_{(1,0)}=2\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$$\mathrm dz|_{(1,0)}=2\mathrm dx-\mathrm dy$

四、多元复合函数的求导法则

考纲摘要：掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法

0x00 一元函数与多元函数复合的情形

如果函数 $u=\phi (t)$$u=\varphi(t)$ 及 $v=\psi (t)$$v=\psi(t)$ 都在点 $t$$t$ 可导，函数 $z=f(u,v)$$z = f(u, v)$ 在对应点 $(u,v)$$(u, v)$ 具有连续偏导数，

那么复合函数 $z=f(\phi (t),\psi (t))$$z=f(\varphi(t),\psi(t))$ 在点 $t$$t$ 可导，有：

根据全微分的的定义式，有：

$$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial z}{\partial v}\mathrm{d}v$$

$\mathrm{d}t$$\mathrm{d}t$是全微分，可以进行四则运算，因此有：

$$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial \mathrm{z}}{\partial u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial \mathrm{z}}{\partial v}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$$

这样的导数也称为全导数

0x01 多元函数与多元函数复合的情形

如果函数 $u=\phi (x,y)$$u = \varphi(x, y)$ 及 $v=\psi (x,y)$$v=\psi(x,y)$ 都在点 $(x,y)$$(x,y)$ 具有对 $x$$x$ 及对 $y$$y$ 的偏导数，函数 $z=f(u,v)$$z=f(u,v)$ 在对应点 $(u,v)$$(u,v)$ 具有连续偏导数，

那么复合函数 $z=f[\phi (x,y),\psi (x,y)]$$z=f[\varphi(x,y),\psi(x,y)]$ 在点 $(x,y)$$(x,y)$ 的两个偏导数都存在，且有：

0x02 混合情形

如果函数 $u=\phi (x,y)$$u = \varphi(x, y)$ 在点 $(x,y)$$(x,y)$ 具有对 $x$$x$ 及对 $y$$y$ 的偏导数，函数 $v=\psi (y)$$v=\psi(y)$ 在点 $y$$y$ 可导

函数 $z=f(u,v)$$z = f(u, v)$ 在对应点 $(u,v)$$(u,v)$ 具有连续偏导数，那么复合函数 $z=f[\phi (x,y),\psi (y)]$$z=f[\varphi(x,y),\psi(y)]$ 在点 $(x,y)$$(x,y)$ 的两个偏导数都存在：

还有一种特殊情况：

注意：$\frac{\partial z}{\partial x}$$\frac{\partial z}{\partial x}$ 与 $\frac{\partial f}{\partial x}$$\frac{\partial f}{\partial x}$ 是不同的，因为 $z$$z$ 可以看作是与 $x$$x$ 和 $y$$y$ 有关的二元函数，而 $f$$f$ 可以看作是与 $u,x,y$$u, x, y$ 有关的三元函数

0x03 全微分形式不变性

设函数 $z=f(u,v)$$z=f(u,v)$ 具有连续偏导数，则有全微分：

如果 $u=\varphi (x,y)$$u=\phi(x, y)$, $v=\psi (x,y)$$v=\psi(x,y)$，则：

$u$$u$ 和 $v$$v$ 无论是自变量还是中间变量，其全微分的形式都是一样的，这个性质就叫做全微分形式不变性

五、隐函数求导

考纲摘要：了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数

0x00 一个方程确定的函数

1. 隐函数存在定理1

设函数 $F(x,y)$$F(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$$P_0(x_0,y_0)$ 的某一邻域内具有连续偏导数，且 $F(x_0,y_0)=0,F_y^{\prime }(x_0,y_0)\ne 0$$F(x_0,y_0)=0,F_y'(x_0,y_0)\ne0$ 则方程 $F(x,y)=0$$F(x,y)=0$ 在点 $(x_0,y_0)$$(x_0,y_0)$ 的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 $y=f(x)$$y=f(x)$，它满足条件 $y_0=f(x_0)$$y_0=f(x_0)$，并有：

这是因为：

$$\begin{array}{c}F(x,y)=F(x,f(x))=0\\ \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=F_x^{\prime }+F_y^{\prime }\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}\end{array}$$

2. 隐函数存在定理2

设函数 $F(x,y,z)$$F(x,y,z)$ 在点 $P(x_0,y_0,z_0)$$P(x_0,y_0,z_0)$ 的某一邻域内具有连续偏导数，且 $F(x_0,y_0,z_0)=0,F_z(x_0,y_0,z_0)\ne 0$$F(x_0,y_0,z_0)=0,F_z(x_0,y_0,z_0)\ne0$ 则方程 $F(x,y,z)=0$$F(x,y,z)=0$ 在点 $(x_0,y_0,z_0)$$(x_0,y_0,z_0)$ 的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 $z=f(x,y)$$z=f(x,y)$，它满足条件 $z_0=f(x_0,y_0)$$z_0=f(x_0,y_0)$，且有：

这是因为，如果我们对 $F(x,y,z)=0$$F(x,y,z)=0$ 的等式两侧分别求 $x$$x$ 的偏导，会产生如下的方程：

$$F_x^{\prime }+F_z\frac{\partial z}{\partial x}=0$$

0x01 方程组的情形

考虑以下方程组：

设 $F(x,y,u,v)$$F(x,y,u,v)$，$G(x,y,u,v)$$G(x,y,u,v)$ 在点 $P(x_0,y_0,u_0,v_0)$$P(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 的某一邻域内具有对各个变量的偏导数， 又 $F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0,G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$$F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0,G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$，

且偏导数组成的函数行列式（Jacobi式）

在点 $P(x_0,y_0,u_0,v_0)$$P(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 处不为 0，则上面的方程组在 $(x_0,y_0,u_0,v_0)$$(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 的某一邻域内可以唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 $u=u(x,y),v=v(x,y)$$u=u(x,y),v=v(x,y)$，满足条件 $u_0=u(x_0,y_0),v_0=v(x_0,y_0)$$u_0=u(x_0,y_0),v_0=v(x_0,y_0)$，并有：

这里，对求导公式的推导十分具有参考意义：

书中原文是“对恒等式两边分别对 $x$$x$ 求导，把 $u$$u$ 和 $v$$v$ 都看作是关于 $x$$x$ 和 $y$$y$ 的二元函数，因此有：

那么”对 $x$$x$ 求导“的意思就是，把 $F[x,y,u(x,y),v(x,y)]$$F[x,y,u(x,y),v(x,y)]$看作是 $f(x,y)$$f(x,y)$ ，然后求 $F_x^{\prime }$$F_x'$

因此，对方程组的求导结果就是（注意 $F_x^{\prime }$$F_x'$ 与 $F_x^{\prime }$$F_x'$ 的区别）：

将其写成矩阵方程的形式：

利用克拉默法则即可轻易求得 $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial x}$$\frac{\part u}{\part x},\frac{\part v}{\part x}$，而 Jacobi 行列式正是这里的系数矩阵

0x02 例题

设 $z=\phi (x,y),y+z=\phi (x+z)$$z=\varphi(x,y),y+z=\varphi(x+z)$，求 $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$$\frac{\mathrm dz}{\mathrm dx}$

设 $xz+e^x=yz$$xz+e^x=yz$ 确定 $z=z(x,y)$$z=z(x,y)$，求 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$$\frac{\part^2 z}{\part x\part y}$

首先在方程的左右分别求 $x,y$$x,y$ 的偏导：

可得：

然后再在方程的左右分别求 $y$$y$ 的偏导：