高等数学·5 多元函数微分学 PART.2

六、多元函数微分学在几何学上的应用

考纲摘要：了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程

0x00 一元向量值函数及其导数

1. 一元向量值函数的定义

空间曲线 $\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$ 的参数方程为：

以上方程也可以记作向量形式：$\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$$\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$

如果将 $\mathbf{f}(t)=\varphi (t)\mathbf{i}+\psi (t)\mathbf{j}+\omega (i)\mathbf{k}$$\mathbf{f}(t)=\phi(t)\mathbf{i}+\psi(t)\mathbf{j}+\omega(i)\mathbf{k}$

那么，这个样子的 $\mathbf{r}=\mathbf{f}(t)$$\mathbf{r}=\mathbf{f}(t)$ 就可以称作一元向量值函数

2. 向量值函数的极限

设向量值函数 $\mathbf{f}(t)$$\mathbf{f}(t)$ 在点 $t_0$$t_0$ 处的某一去心邻域内有定义，

那么，常向量 ${\mathbf{r}}_0$$\mathbf{r}_0$ 就叫做向量值函数 $\mathbf{f}(t)$$\mathbf{f}(t)$ 在 $t\to t_0$$t\to t_0$ 时的极限，记作：

显然，向量值函数的极限存在的充要条件是三个分量函数的极限存在

此外，若$\underset{t\to t_0}{lim}\mathbf{f}(t)=\mathbf{f}(t_0)$$\lim_{t\to t_0}\mathbf{f}(t)=\mathbf{f}(t_0)$，则称$\mathbf{f}(t)$$\mathbf{f}(t)$在 $t_0$$t_0$ 连续

3. 向量值函数的导数

设向量值函数 $\mathbf{r}=\mathbf{f}(t)$$\mathbf{r}=\mathbf{f}(t)$ 在点 $t_0$$t_0$ 的某一邻域内有定义，如果

存在，就称这个极限向量为函数值函数 $\mathbf{r}=\mathbf{f}(t)$$\mathbf{r}=\mathbf{f}(t)$ 在 $t_0$$t_0$ 处的导数或导向量，记 作${\mathbf{f}}^{\prime }(t_0)$$\mathbf{f}'(t_0)$ 或者 $\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}{|}_{t=t_0}$$\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}|_{t=t_0}$

4. 向量值函数求导法则

0x01 空间曲线的切线与法平面

1. 参数方程的情形

设空间曲线 $\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$ 的参数方程为

记点 $M$$M$ 对应的参数为 $t_0$$t_0$，则曲线 $\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$ 在 $M$$M$ 处的切线方程为：

法平面方程为：

2. 普通方程组的情形

设空间曲线 $\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$ 的方程为：

可以从中确定两个函数：$y=\varphi (x),z=\psi (x)$$y=\phi(x),z=\psi(x)$

那么，要求 $\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$ 在点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$$M_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的切线方程与法平面方程，只需求出 ${\varphi }^{\prime }(x_0),{\psi }^{\prime }(x_0)$$\phi'(x_0),\psi'(x_0)$

则其切线方程就是：

其法平面方程就是：

0x02 曲面的切平面与法线

1. 隐函数 $F(x,y,z)=0$$F(x,y,z)=0$ 确定的曲面

在点 $(x_0,y_0,z_0)$$(x_0,y_0,z_0)$处：

切平面的方程为：

法线方程为：

曲面的法向量：

2. 函数 $z=f(x,y)$$z=f(x,y)$ 确定的曲面

实际上，这可以转换成隐函数的形式：$F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$$F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$

在点 $(x_0,y_0,z_0)$$(x_0,y_0,z_0)$ 处：

切平面的方程为：

法线方程为：

七、方向导数与梯度

考纲摘要：理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法

0x00 方向导数

1. 方向导数的定义

设 $l$$l$ 是 $xOy$$xOy$ 平面上以 $P_0(x_0,y_0)$$P_0(x_0,y_0)$ 为始点的一条射线，${\mathbf{e}}_l=(\cos \alpha ,\cos \beta )$$\mathbf e_l=(\cos\alpha,\cos\beta)$ 是与 $l$$l$ 同方向的单位向量，则射线 $l$$l$ 的参数方程为：

设函数 $z=f(x,y)$$z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$$P_0(x_0,y_0)$ 的某个邻域 $U(P_0)$$U(P_0)$ 内有定义，$P(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )$$P(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)$ 是 $l$$l$ 上的另一点，且 $P\in U(P_0)$$P\in U(P_0)$ 如果函数增量 $f(x_0+t\cos \alpha ,t_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)$$f(x_0+t\cos\alpha,t_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)$ 与 $|P{P}_0|=t$$|PP_0|=t$ 的比值

在 $t\to 0^{+}$$t\to0^+$ 时的极限存在，那么称这个极限为函数 $f(x,y)$$f(x,y)$ 在点 $P_0$$P_0$ 沿方向 $l$$l$ 的方向导数，记作：

2. 方向导数的计算

如果函数 $f(x,y)$$f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$$P_0(x_0,y_0)$ 处可微分，那么函数在该点的任意方向 $l$$l$ 的方向导数存在，且为：

其中，$\cos \alpha ,\cos \beta$$\cos\alpha,\cos\beta$ 是方向 $l$$l$ 的方向余弦

0x01 梯度

1. 梯度的定义

设函数 $f(x,y)$$f(x,y)$ 在平面区域 $D$$D$ 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 $P_0(x_0,y_0)\in D$$P_0(x_0,y_0)\in D$ ，都可以定义出一个变量：

这个向量就称为函数 $f(x,y)$$f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$$P_0(x_0,y_0)$ 的梯度，记作 $\mathbf{grad}f(x_0,y_0)$$\mathbf{grad}f(x_0,y_0)$ 或者 $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)$$\nabla f(x_0,y_0)$ 其中，

称作二维向量微分算子或者 Nabla 算子，

如果函数 $f(x,y)$$f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$$P_0(x_0,y_0)$ 可微分，${\mathbf{e}}_l=(\cos \alpha ,\cos \beta )$$\mathbf e_l=(\cos\alpha,\cos\beta)$ 是与方向 $l$$l$ 同向的单位向量，那么

2. 梯度的意义

1. 当 $\theta =0$$\theta=0$ ，${\mathbf{e}}_l$$\mathbf e_l$ 与梯度 $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)$$\nabla f(x_0,y_0)$ 的方向相同时，函数 $f(x,y)$$f(x,y)$ 增加的速度最快，函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值就是 $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)$$\nabla f(x_0,y_0)$ 的模。也就是说，函数 $f(x,y)$$f(x,y)$ 在一点的梯度 $\mathrm{\nabla }f$$\nabla f$ 是一个向量，这个向量是方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。此时，有：

   $$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}=|\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)|$$

2. 当 $\theta =\pi$$\theta=\pi$ ，${\mathbf{e}}_l$$\mathbf e_l$ 与梯度 $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)$$\nabla f(x_0,y_0)$ 的方向相反时，函数 $f(x,y)$$f(x,y)$ 增加的速度最慢，函数在这个方向的方向导数达到最小值，此时，有：

   $$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}=-|\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)|$$

3. 当 $\theta =\pi /2$$\theta=\pi/2$ ，${\mathbf{e}}_l$$\mathbf e_l$ 与梯度 $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)$$\nabla f(x_0,y_0)$ 的方向正交时，函数的变化率为 0，即：

   $$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}=|\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)|\cos \frac{\pi }{2}=0$$

八、多元函数的极值及其求法

考纲摘要：理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题

0x00 多元函数的极值

1. 多元函数极值的定义

设函数 $z=f(x,y)$$z=f(x,y)$ 的定义域为 $D$$D$，$P_0(x_0,y_0)$$P_0(x_0,y_0)$ 是 $D$$D$ 的内点，若

则称 $f(x,y)$$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$$(x_0,y_0)$ 有极大值 $f(x_0,y_0)$$f(x_0,y_0)$，该点也称作函数的极大值点

若

则称 $f(x,y)$$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$$(x_0,y_0)$ 有极小值 $f(x_0,y_0)$$f(x_0,y_0)$，该点也称作函数的极小值点

2. 多元函数极值的存在条件

二元函数极值存在的必要条件：如果函数 $z=f(x,y)$$z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$$(x_0,y_0)$ 处具有偏导数和极值，则：$f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$$f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$ （在这里，使得两个偏导数均取值为 0 的点 $(x_0,y_0)$$(x_0,y_0)$ 就被称作驻点）

二元函数极值存在的充分条件：

设函数 $z=f(x,y)$$z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$$(x_0,y_0)$ 处的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，且有 $f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$$f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$，令：

则 $f(x,y)$$f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$$(x_0,y_0)$ 取得极值的情况如下：

• $AC-B^2>0$$AC-B^2>0$ 时具有极值，当 $A<0$$A<0$ 时具有极大值，$A>0$$A>0$ 时具有极小值
• $AC-B^2<0$$AC-B^2<0$ 时没有极值
• $AC-B^2=0$$AC-B^2=0$ 时无法确定是否具有极值，需要通过别的方法来判定

3. 多元函数的最大值和最小值

如果 $f(x,y)$$f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$$D$ 上连续，那么 $f(x,y)$$f(x,y)$ 在 $D$$D$ 上必定可以取得最大值和最小值。

求多元函数在有界闭区域 $D$$D$ 上的最大值和最小值的方法： 求出 $D$$D$ 内所有驻点的函数值，并将其与边界上的最大值和最小值进行比较。

0x02 条件极值、拉格朗日乘数法

条件极值问题举例：

求表面积为 $a^2$$a^2$ 而体积最大的长方体的体积。 长方体的体积：$V=xyz$$V=xyz$，但是由于问题中的条件，三个自变量还具有制约关系：$2(xy+yz+xz)=a^2$$2(xy+yz+xz)=a^2$

对于这样的问题，可以利用拉格朗日乘数法来解决

要找函数 $z=f(x,y)$$z=f(x,y)$ 在附加条件 $\phi (x,y)=0$$\varphi(x,y)=0$ 下的可能极值点， 可以使用拉格朗日函数：$L(x,y)=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$$L(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$，然后求解以下方程：

从方程组中求解 $x,y,\lambda$$x,y,\lambda$，得到的 $(x,y)$$(x,y)$ 就是函数 $f(x,y)$$f(x,y)$ 在附加条件 $\phi (x,y)=0$$\varphi(x,y)=0$ 下的可能极值点。

拉格朗日乘数法的一般形式：

要求解 $f(x_1,\dots ,x_n)$$f(x_1,\dots,x_n)$ 在条件 $g_1(x_1,\dots x_n)=0,\dots ,g_m(x_1,\dots ,x_n)=0$$g_1(x_1,\dots x_n)=0,\dots,g_m(x_1,\dots,x_n)=0$ 下的条件极值， 首先构造拉格朗日函数：

$$L(x_1,\dots ,x_n,{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m)=f(x_1,\dots ,x_n)+{\lambda }_1{g}_1(x_1,\dots x_n)+\cdots +{\lambda }_m{g}_m(x_1,\dots ,x_n)=0$$

然后构造方程组：

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial L}{\partial x_1}=0\\ ⋮\\ \frac{\partial L}{\partial x_n}=0\\ \frac{\partial L}{\partial {\lambda }_1}=0\\ ⋮\\ \frac{\partial L}{\partial {\lambda }_m}=0\end{array}$$

求解这个方程组，计算出 $x_1,\dots x_n,{\lambda }_1,\dots {\lambda }_m$$x_1,\dots x_n,\lambda_1,\dots\lambda_m$ 的值，这些值就是原本的多元函数在给定条件下的极值点。 根据拉格朗日乘数法的一般形式，我们可以轻易推导出在二元函数、仅有一个约束条件的情况下的拉格朗日乘数法方程组的形式。

0x03 例题

求 $z=2x^2-y^2+2$$z=2x^2-y^2+2$ 在区域 $x^2+4y^2\le 4$$x^2+4y^2\le4$ 上的最大值和最小值

函数在给定区域内有一驻点 $(0,0)$$(0,0)$，$z(0,0)=2$$z(0,0)=2$。然后求解其边界上的最大值和最小值， 也就是求解 $z(x,y)$$z(x,y)$ 在条件 $x^2+4y^2=4$$x^2+4y^2=4$ 下的条件极值。

在这种情况下，$z(1)=1,z(0)=10$$z(1)=1,z(0)=10$，而 $z(1)<2$$z(1)<2$，因此 $z$$z$ 的最大值和最小值分别是 $10,1$$10,1$

九、二元函数的泰勒公式

考纲摘要：了解二元函数的二阶泰勒公式

设 $z=f(x,y)$$z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$$(x_0,y_0)$ 的某一邻域内连续且有 $(n+1)$$(n+1)$ 阶连续偏导数，$(x_0+h,y_0+k)$$(x_0+h,y_0+k)$ 为此邻域内任一点，则有：

这个公式称作二元函数 $f(x,y)$$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$$(x_0,y_0)$ 处的 $n$$n$ 阶泰勒公式，其中，

其形式就是二项展开式，例如：

而：

则被称作拉格朗日余项

0 阶泰勒公式的形式如下：

这个公式也称作二元函数的拉格朗日中值公式

在这里还有一个推论： 如果函数 $f(x,y)$$f(x,y)$ 的偏导数 $f_x(x,y),f_y(x,y)$$f_x(x,y),f_y(x,y)$ 在某一区域内都恒为 0，则 $f(x,y)$$f(x,y)$ 在该区域内是一个常数。