高等数学·5 多元函数微分学 PART.3 公式汇总

一、定义类

多元函数连续的定义：如果

则称 $f(x,y)$$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$$(x_0,y_0)$ 上连续

$f(x,y)$$f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$$(x_0,y_0)$ 处对 $x$$x$ 的偏导数的定义式：

全微分的原始定义：

其中 $A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y$$A\Delta x+B\Delta y$ 就是全微分，而 $A=\frac{\partial z}{\partial x},B=\frac{\partial z}{\partial y}$$A=\frac{\part z}{\part x},B=\frac{\part z}{\part y}$。但是，有时候无法直接对 $f(x,y)$$f(x,y)$ 求偏导，但这并不意味着凑不出 $\mathrm{\Delta }z=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+o(\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2})$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})$

全微分的常规形式：

二、隐函数求导

隐函数求导1：如果 $F(x,y)=0$$F(x,y)=0$ 在某一区域内可唯一确定 $y=f(x)$$y=f(x)$，则

隐函数求导2：如果 $F(x,y,z)=0$$F(x,y,z)=0$ 在某一区域内可唯一确定 $z=f(x,y)$$z=f(x,y)$，则

隐函数求导3：如果以下方程组：

可同时确定唯一的一对 $u=u(x,y),v=v(x,y)$$u=u(x,y),v=v(x,y)$，则：

事实上，以上隐函数求导法则有时候用起来未必方便，而且只适合于求一阶导数，直接在题目给定的方程左右同时对某一变量求偏导即可

三、应用类

0x00 空间曲线的切线与法平面

1. 参数方程的情形

设空间曲线 $\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$ 的参数方程为

记点 $M$$M$ 对应的参数为 $t_0$$t_0$，则曲线 $\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$ 在 $M$$M$ 处的切线方程为：

法平面方程为：

2. 普通方程组的情形

设空间曲线 $\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$ 的方程为：

可以从中确定两个函数：$y=\varphi (x),z=\psi (x)$$y=\phi(x),z=\psi(x)$

那么，要求 $\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$ 在点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$$M_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的切线方程与法平面方程，只需求出 ${\varphi }^{\prime }(x_0),{\psi }^{\prime }(x_0)$$\phi'(x_0),\psi'(x_0)$

则其切线方程就是：

其法平面方程就是：

0x01 曲面的切平面与法线

1. 隐函数 $F(x,y,z)=0$$F(x,y,z)=0$ 确定的曲面

在点 $(x_0,y_0,z_0)$$(x_0,y_0,z_0)$处：

切平面的方程为：

法线方程为：

曲面的法向量：

2. 函数 $z=f(x,y)$$z=f(x,y)$ 确定的曲面

实际上，这可以转换成隐函数的形式：$F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$$F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$

在点 $(x_0,y_0,z_0)$$(x_0,y_0,z_0)$ 处：

切平面的方程为：

法线方程为：