高等数学·6 多元函数积分学 PART.2 曲线积分

一、第一类曲线积分

考纲摘要：理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系

第一类曲线积分问题举例：有一根曲线型构件，其质量并不是均匀的，但我们知道用来表示这跟曲线的方程，以及它的线密度函数，这样我们就可以利用第一类曲线积分来计算出它的质量了。

0x00 第一类曲线积分的定义

设 $L$$L$ 是 $xOy$$xOy$ 面的一条光滑曲线，函数 $f(x,y)$$f(x,y)$ 在 $L$$L$ 上有界（注意与区域 $D$$D$ 的区别） 把 $L$$L$ 分为 $n$$n$ 个小段，第 $i$$i$ 个小段的长度为 $\mathrm{\Delta }{s}_i$$\Delta s_i$，在第 $i$$i$ 个小段上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$$(\xi_i,\eta_i)$ ，作乘积 $f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{s}_i$$f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i$，并作和 $\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{s}_i$$\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i$ 设 $\lambda =MAX\{\mathrm{\Delta }{s}_i\}$$\lambda = MAX\{\Delta s_i\}$当 $\lambda \to 0$$\lambda\to0$ 时，这个极限总存在，且与 $n$$n$ 个小段的取法与点的取法无关 则称此极限为函数 $f(x,y)$$f(x,y)$ 在曲线弧 $L$$L$ 上对弧长的曲线积分或者第一类曲线积分

记作：

• $f(x,y)$$f(x,y)$ 称作被积函数
• $L$$L$ 叫做积分弧段

如果 $L$$L$ 是闭合曲线，则函数 $f(x,y)$$f(x,y)$ 在闭曲线 $L$$L$ 上对弧长的曲线积分记作 ${\oint }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$$\oint_Lf(x,y)\mathrm ds$

0x01 第一类曲线积分的性质

1. ${\int }_L[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]\mathrm{d}s=\alpha {\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s+\beta {\int }_{L}g(x,y)\mathrm{d}s$$\int_L[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]\mathrm ds=\alpha\int_Lf(x,y)\mathrm ds+\beta\int_Lg(x,y)\mathrm ds$

2. 若积分弧段 $L$$L$ 可分成两端光滑曲线弧 $L_1$$L_1$, $L_2$$L_2$，则有：

   $${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_{L_1}f(x,y)\mathrm{d}s+{\int }_{L_2}f(x,y)\mathrm{d}s$$

3. 如果在 $L$$L$ 上 $f(x,y)\le g(x,y)$$f(x,y)\le g(x,y)$，则有：

   $${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s\le {\int }_{L}g(x,y)\mathrm{d}s$$

4. $|{\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s|\le {\int }_L|f(x,y)|\mathrm{d}s$$\left|\int_Lf(x,y)\mathrm ds\right |\le\int_L\left |f(x,y)\right |\mathrm ds$

0x02 第一类曲线积分的算法

考纲摘要：掌握计算两类曲线积分的方法

1. 基本情形

设 $L$$L$ 的参数方程为：

如果 $\varphi (t),\psi (t)$$\phi(t),\psi(t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$$[\alpha,\beta]$ 上具有一阶连续导数，且 ${\varphi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^2(t)\ne 0$$\phi'^2(t)+\psi^2(t)\ne0$，则：

2. $y=f(x)$$y=f(x)$ 的情形

如果 $L$$L$ 由函数 $y=f(x),x\in [a,b]$$y=f(x),x\in[a,b]$ 确定， 那么，实际上可以把 $L$$L$ 的参数方程看成这个样子： $\{\begin{array}{l}x=x\\ y=f(x)\end{array}$$\begin{cases} x=x\\ y=f(x) \end{cases}$

这样一来可以得到以下式子：

3. 推广到三元函数、空间曲线的情形

设空间曲线 $\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$ 的参数方程为：

则有：

推广到更一般化的情形： 设 $n$$n$ 维空间中的一条曲线 $\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$ 的参数方程为：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1={\varphi }_1(t)\\ ⋮\\ x_n={\varphi }_n(t)\end{array},\alpha \le t\le \beta$$

设 $f(x_1,\dots ,x_n)$$f(x_1,\dots,x_n)$ 在 $\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$ 上有定义，则：

$${\int }_{\mathrm{\Gamma }}f(x_1,\dots ,x_n)\mathrm{d}s={\int }_{\alpha }^{\beta }f[{\varphi }_1(t),\dots ,{\varphi }_n(t)]\sqrt{\sum _{i=1}^n{\varphi }_i^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$$

二、第二类曲线积分

考纲摘要：理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系

第二类曲线积分问题举例：平面上一个质点在 $xOy$$xOy$ 面受到的力可以表示为 $\mathbf{F}=P(x,y)\mathbf{i}+Q(x,y)\mathbf{j}$$\mathbf F=P(x,y)\mathbf i+Q(x,y)\mathbf j$，那么，这个质点沿着光滑曲线弧 $L$$L$ 做的功可以用第二类曲线积分的方法进行求解

0x00 第二类曲线积分的定义

设 $L$$L$ 是 $xOy$$xOy$ 面内从点 $A$$A$ 到点 $B$$B$ 的一条有向光滑曲线弧，函数 $P(x,y),Q(x,y)$$P(x,y),Q(x,y)$ 在 $L$$L$ 上有界 在 $L$$L$ 上插入点 $M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2),\dots ,M_{n-1}(x_{n-1},y_{n-1})$$M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2),\dots,M_{n-1}(x_{n-1},y_{n-1})$，把 $L$$L$ 分为 $n$$n$ 个有向弧段 $\stackrel{⌢}{M_{i-1}{M}_i}(i=1,2,\dots ,n;M_0=A,M_n=B)$$\stackrel\frown{M_{i-1}M_i}(i=1,2,\dots,n;M_0=A,M_n=B)$ 设 $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1},\mathrm{\Delta }{y}_i=y_i-y_{i-1}$$\Delta x_i=x_i-x_{i-1},\Delta y_i=y_i-y_{i-1}$，点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$$(\xi_i,\eta_i)$ 是 $\stackrel{⌢}{M_{i-1}{M}_i}$$\stackrel\frown{M_{i-1}M_i}$ 上的任一点，作乘积 $P({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i$，并作和 $\sum _{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$\sum_{i=1}^nP(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i$ 设 $\lambda =MAX\{\mathrm{\Delta }{x}_i\}$$\lambda=MAX\{\Delta x_i\}$，当$\lambda \to 0$$\lambda\to0$时，$\sum _{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$\sum_{i=1}^nP(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i$ 的极限总存在，且与曲线弧 $L$$L$ 的分法与点的取法无关，则称此极限为函数 $P(x,y)$$P(x,y)$ 在有向曲线弧 $L$$L$ 上对坐标 $x$$x$ 的曲线积分，记作 ${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x$$\int_LP(x,y)\mathrm dx$ 同理，也有 ${\int }_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y$$\int_LQ(x,y)\mathrm dy$

也就有：

• $P(x,y),Q(x,y)$$P(x,y),Q(x,y)$ 称作被积函数
• $L$$L$ 叫做积分弧段

以上两个积分也称作第二类曲线积分

注意定义上与第一类曲线积分的区别

${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+{\int }_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y$$\int_LP(x,y)\mathrm dx+\int_LQ(x,y)\mathrm dy$ 就是所求的做功

也可以写成向量的形式：${\int }_L\mathbf{F}(x,y)\mathrm{d}\mathbf{r}$$\int_L\mathbf F(x,y)\mathrm d\mathbf r$，其中 $\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}x\mathbf{i}+\mathrm{d}y\mathbf{j}$$\mathrm d\mathbf r=\mathrm dx\mathbf i+\mathrm dy\mathbf j$

0x01 第二类曲线积分的性质

1. ${\int }_L[\alpha {\mathbf{F}}_1(x,y)+\beta {\mathbf{F}}_2(x,y)]\mathrm{d}\mathbf{r}=\alpha {\int }_L{\mathbf{F}}_1(x,y)\mathrm{d}\mathbf{r}+\beta {\int }_L{\mathbf{F}}_2(x,y)\mathrm{d}\mathbf{r}$$\int_L[\alpha\mathbf F_1(x,y)+\beta\mathbf F_2(x,y)]\mathrm d\mathbf r=\alpha\int_L\mathbf F_1(x,y)\mathrm d\mathbf r+\beta\int_L\mathbf F_2(x,y)\mathrm d\mathbf r$

2. 如果把有向线段弧 $L$$L$ 分为两段有向线段弧 $L_1,L_2$$L_1,L_2$，则：

   $${\int }_L\mathbf{F}(x,y)\mathrm{d}\mathbf{r}={\int }_{L_1}\mathbf{F}(x,y)\mathrm{d}\mathbf{r}+{\int }_{L_2}\mathbf{F}(x,y)\mathrm{d}\mathbf{r}$$

3. 设 $L$$L$ 的反向曲线弧是 $L^{-}$$L^-$，则有：

   $${\int }_{L^{-}}\mathbf{F}(x,y)\mathrm{d}\mathbf{r}=-{\int }_L\mathbf{F}(x,y)\mathrm{d}\mathbf{r}$$

4.  

0x02 第二类曲线积分的算法

考纲摘要：掌握计算两类曲线积分的方法

设 $L$$L$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=\varphi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$$\begin{cases} x=\phi(t)\\ y=\psi(t) \end{cases}$

当参数 $t$$t$ 单调地从 $\alpha$$\alpha$ 变到 $\beta$$\beta$ 时，点 $M(x,y)$$M(x,y)$ 从 $L$$L$ 的起点 $A$$A$ 沿着 $L$$L$ 运动到终点 $B$$B$，则：

可以看到，第二类曲线积分可以通过直接换元来计算

然后可以推广到空间曲线 $\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$ 的情形：

设空间曲线 $\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$ 的参数方程为：

则参数 $t$$t$ 单调地从 $\alpha$$\alpha$ 变到 $\beta$$\beta$ 时，就有：

那为什么不可以推广到 $n$$n$ 维曲线 $\mathrm{\Xi }$$\Xi$ 的情形呢？ 设 $\mathrm{\Xi }$$\Xi$ 的参数方程为：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1={\varphi }_1(t)\\ ⋮\\ x_n={\varphi }_n(t)\end{array}$$

则 $t$$t$ 单调地从 $\alpha$$\alpha$ 变到 $\beta$$\beta$ 时，就有：

$${\int }_{\mathrm{\Xi }}{P}_1(x_1,\dots x_n)\mathrm{d}{x}_1+\cdots +P_n(x_1,\dots x_n)\mathrm{d}{x}_n={\int }_{\alpha }^{\beta }\{\sum _{i=1}^n{P}_i[{\varphi }_1(t),\dots ,{\varphi }_n(t)]{\varphi }_i^{\prime }(t)\}\mathrm{d}t$$

0x03 两类曲线积分的关系

其实我觉得两类曲线积分都有点像“换元法” 因为它是用积分路径进行积分的，所以需要写出路径的参数方程， 然后利用参数 $t$$t$ 的范围来界定积分的范围。

参数方程显然也是描述了 $x,y$$x,y$ 与 $t$$t$ 的关系，那么直接把对应的 $x,y$$x,y$ 给替换成含 $t$$t$ 的函数即可。 而第一类曲线积分的 $\mathrm{d}s$$\mathrm ds$ 可以看作是一个比较特殊的微分 $\mathrm{d}s=\sqrt{{\varphi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$$\mathrm ds = \sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^2(t)}\mathrm dt$ 实际上在我看来：

$$\begin{array}{c}\mathrm{d}s=\sqrt{\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2}=\sqrt{\mathrm{d}\varphi (t{)}^2+\mathrm{d}\psi (t{)}^2}=\\ \sqrt{{\varphi }^{\prime 2}(t)\mathrm{d}{t}^2+{\psi }^{\prime 2}(t)\mathrm{d}{t}^2}=\sqrt{{\varphi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t\end{array}$$

三、格林公式及其应用

考纲摘要：掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数

0x00 格林公式的基本概念

设 $D$$D$ 为平面区域，若 $D$$D$ 内任意闭曲线所围的部分都属于 $D$$D$ 则称 $D$$D$ 为平面单连通区域，否则称作复连通区域 单连通区域举例： $\{(x,y)|x^2+y^2=1\}$$\{(x,y)|x^2+y^2=1\}$（圆形区域） 复连通区域举例：$\{(x,y)|1<x^2+y^2<4\}$$\{(x,y)|1<x^2+y^2<4\}$ （圆环形区域）

格林公式揭示了平面闭区域 $D$$D$ 上的二重积分与闭区域 $D$$D$ 的边界曲线 $L$$L$ 上的曲线积分的关系。 因此，需要定义边界曲线的方向： 当观察者沿着边界曲线 $L$$L$ 的某一方向走的时候，如果区域的内部总在观察者的左侧，则观察者行走的方向就是正方向 例如：对于一个圆形的单连通区域，边界曲线的逆时针方向就是正方向。

格林公式如下： 设闭区域 $D$$D$ 由分段光滑的曲线 $L$$L$ （取正向的边界曲线）围成，如果函数 $P(x,y)$$P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$$Q(x,y)$ 在 $D$$D$ 上具有一阶连续偏导数，则有：

注意： 前面是 $Q$$Q$ 对 $x$$x$、$P$$P$ 对 $y$$y$ 的偏导数相减 后面则是 $P$$P$ 对 $x$$x$、$Q$$Q$ 对 $y$$y$ 的第二类曲线积分相加 在使用格林公式时，应该小心混淆

在利用格林公式时，可以把前者转换成后者，也可以把后者转换成前者。

为了方便思维，也可以把对应的 $Q(x,y)$$Q(x,y)$ 和 $P(x,y)$$P(x,y)$ 给写出来

注意：这里 $Q(x,y)$$Q(x,y)$ 和 $P(x,y)$$P(x,y)$ 硬凑出来也没问题。例如：

$$\underset{D}{\iint }{e}^{-y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

这个时候，令 $Q(x,y)=x{e}^{-y^2},P(x,y)=0$$Q(x,y)=xe^{-y^2},P(x,y)=0$，就可以满足：

$$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=e^{-y^2}$$

然后就可以利用格林公式得到：

$$\underset{D}{\iint }{e}^{-y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\oint }_{L}x{e}^{-y^2}\mathrm{d}y$$

格林公式描述了对区域 $D$$D$ 的二重积分与对区域 $D$$D$ 的边界曲线 $L$$L$ 的曲线积分的关系

0x01 平面上曲线积分与路径无关的条件

考纲摘要：掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数

1. 平面上曲线积分与路径无关的概念

考虑第二类曲线积分，如果： 设曲线 $L_1$$L_1$ 与 $L_2$$L_2$ 的出发点与结束点相同，都在同一个区域 $G$$G$ 中，且满足以下关系：

则称曲线积分 ${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$$\int_{L}P\mathrm dx+Q\mathrm dy$ 在 $G$$G$ 内是路径无关的，否则称之为路径有关

这里的物理学实例有： 电场、重力场等的做功与物体运动路径无关 也就是所谓势场的概念

如果一个这样一个曲线积分是路径无关的，还可以有以下推论：

对于 $G$$G$ 内的任意闭曲线 $C$$C$，总有：

2. 平面上的曲线积分与路径无关的充要条件

设区域 $G$$G$ 但是一个单连通区域 如果函数 $P(x,y)$$P(x,y)$ 与 $Q(x,y)$$Q(x,y)$ 在 $G$$G$ 内具有一阶连续偏导数 则曲线积分 ${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$$\int_LP\mathrm dx+Q\mathrm dy$ 在 $G$$G$ 内路径无关的充要条件为：

在 $G$$G$ 内恒成立。

一个有趣的例题如下：计算

$${\oint }_L\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}$$

其中，$L$$L$ 是一条不经过原点、无重复点、分段光滑的连续闭曲线。

可以令

$$P=\frac{-y}{x^2+y^2},Q=\frac{x}{x^2+y^2}$$

如果 $L$$L$ 所围成的区域 $D$$D$ 并不包含原点，由于

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2{)}^2}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

由于区域 $D$$D$ 并不包含 $(0,0)$$(0,0)$ 点，因此 $P,Q$$P,Q$ 在 $D$$D$ 上都具有一阶连续偏导数 满足了平面上曲线积分与路径无关的充要条件，因此此时所求的积分值为 0

但如果区域 $D$$D$ 包含 $(0,0)$$(0,0)$ 点，则需要另作讨论。设有一条闭合曲线 $l$$l$，它是以 $(0,0)$$(0,0)$ 点为圆心，半径为 $r$$r$ 的圆 同时，$l$$l$ 所围成的区域 $D_1\subset D$$D_1\subset D$，那么就存在以下关系：

$$\begin{array}{c}{\oint }_L\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}-{\oint }_l\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}=0\\ {\oint }_L\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}={\oint }_l\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}\end{array}$$

这是因为，从区域 $D$$D$ “挖去” 区域 $D_1$$D_1$ 后，又可以被切割为多个以闭合曲线为边界的区域，而每个区域的积分都是 0 因此问题被转为了求对 $l$$l$ 的积分。

设：

$$\{\begin{array}{l}x=r\sin \theta \\ y=-r\cos \theta \end{array},\theta \in [0,2\pi ]$$

则：

$${\oint }_l\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}={\int }_0^{2\pi }\frac{r^2\sin \theta +r^2{\cos }^2\theta }{r^2}\mathrm{d}\theta =2\pi$$

可以看到，到了最后积分的结果与 $r$$r$ 的选取也是无关的

0x02 二元函数的全微分求积

考纲摘要：掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数

这里要解决的是这样的问题： 对于函数 $P(x,y)$$P(x,y)$ 与 $Q(x,y)$$Q(x,y)$，表达式 $P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$$P(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy$ 是否是某个函数 $u(x,y)$$u(x,y)$ 的全微分。如果是，如何求出这样的函数 $u(x,y)$$u(x,y)$

1. 具有 $u(x,y)$$u(x,y)$ 的充要条件

设区域 $G$$G$ 是一个单连通区域， 如果函数 $P(x,y)$$P(x,y)$ 与 $Q(x,y)$$Q(x,y)$ 在 $G$$G$ 内具有一阶连续偏导数 则 $P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$$P(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy$ 在 $G$$G$ 内是某一个函数 $u(x,y)$$u(x,y)$ 的全微分的充要条件为：

在 $G$$G$ 内恒成立。

这是因为，如果有一个 $\mathrm{d}u=P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$$\mathrm du=P(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy$，那么：

$$\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial x}=P(x,y),\frac{\partial u}{\partial y}=Q(x,y)\\ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}=\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\end{array}$$

同时，根据全微分存在的条件，这个二阶偏导数必须是连续的。

可以看到，具有这样的 $u(x,y)$$u(x,y)$ 的条件就是路径无关的条件，因此，有以下推论： 设区域 $G$$G$ 是一个单连通区域，如果函数 $P(x,y)$$P(x,y)$ 与 $Q(x,y)$$Q(x,y)$ 在 $G$$G$ 内具有一阶连续偏导数， 则曲线积分 ${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$$\int_LP\mathrm dx+Q\mathrm dy$ 在 $G$$G$ 内与路径无关的充要条件是： 在 $G$$G$ 内存在函数 $u(x,y)$$u(x,y)$ ，使得 $\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$$\mathrm du=P\mathrm dx+Q\mathrm dy$

2. $u(x,y)$$u(x,y)$ 的公式

如何理解 ${\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}$$\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}$ ?

我们知道，存在 $u$$u$ 的充要条件就是在这个区域里曲线积分与路径无关

这里 $(x_0,y_0)$$(x_0,y_0)$ 的选取应该是这个区域里的任意点。

设 $L$$L$ 是从 $(x_0,y_0)$$(x_0,y_0)$ 到 $(x,y)$$(x,y)$ 的线段，那么 ${\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}$$\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}$ 可以当成 ${\int }_L$$\int_L$ 来计算。

当然，由于路径无关，也可以把 $u$$u$ 当成路径为折线的积分进行计算。当然前提是折线都在区域的包含范围内。

两种方案：