高等数学·6 多元函数积分学 PART.3 曲面积分

一、第一类曲面积分

考纲摘要：了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计当算两类曲面积分的方法

0x00 第一类曲面积分的定义

设有光滑曲面 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ ，函数 $f(x,y,z)$$f(x,y,z)$ 在 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 上有界。 把 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 任意分成 $n$$n$ 个小块 $\mathrm{\Delta }{S}_i$$\Delta S_i$ ，设 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$$(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$ 是 $\mathrm{\Delta }{S}_i$$\Delta S_i$ 上的任一点 作乘积 $f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{S}_i$$f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i$ 并作和 $\sum _{i=0}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{S}_i$$\sum_{i=0}^nf(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i$ 如果在各个小块曲面的直径的最大值 $\lambda \to 0$$\lambda\to0$ ，这个和的极限总存在，且与曲面 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 与每个小曲面上点的取法无关 则称极限 $\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=0}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{S}_i$$\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=0}^nf(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i$ 为 函数 $f(x,y,z)$$f(x,y,z)$ 在曲面 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 上对面积的曲面积分或 第一类曲面积分 记作：

其中 $f(x,y,z)$$f(x,y,z)$ 称作被积函数，$\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 称作积分曲面

第一类曲面积分可用于计算薄片的质量。 也就是当 $f(x,y,z)$$f(x,y,z)$ 表示面密度的时候。这与第一类曲线积分的物理背景：线密度十分相似

此外，第一类曲面积分也具有曲线积分的一些“理所当然”的性质，这里不再赘述。

0x01 第一类曲面积分的算法

设曲面 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 可以由方程 $z=z(x,y)$$z=z(x,y)$ 来确定，则曲面积分与某个二重积分相等：

其中 $D_{xy}$$D_{xy}$ 是曲面 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 在 $xOy$$xOy$ 平面上的投影，这就是其对应的二重积分的积分区域

二、第二类曲面积分

考纲摘要：了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计当算两类曲面积分的方法

0x00 有向曲面

1. 曲面的”侧“的定义

一般而言，曲面是双侧的。例如一个半球面有"上侧"和"下侧"，又例如一个闭合球面有"外侧"和"内侧" 可以用法向量 $\mathbf{n}$$\mathbf n$ 来选取曲面的侧，选定了这样的法向量的曲面就称之为有向曲面

2. $\mathrm{\Delta }S$$\Delta S$ 投影的取法

在曲面 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 上取一小块曲面 $\mathrm{\Delta }S$$\Delta S$ ，把 $\mathrm{\Delta }S$$\Delta S$ 投影到 $xOy$$xOy$ 面上得到一个投影区域 $(\mathrm{\Delta }\sigma {)}_{xy}$$(\Delta \sigma)_{xy}$ 假定 $\mathrm{\Delta }S$$\Delta S$ 上每个点上的的法向量与 $z$$z$ 轴的夹角 $\gamma$$\gamma$ 的余弦值的正负都相等，则： 规定 $\mathrm{\Delta }S$$\Delta S$ 在 $xOy$$xOy$ 面上的投影 $(\mathrm{\Delta }S{)}_{xy}$$(\Delta S)_{xy}$ 为：

这里其实也是按照“侧”来分界定投影的正负性

3. 物理情景举例

流向曲面的一侧的流量，设水的速度场为 $\mathbf{v}(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf{i}+Q(x,y,z)\mathbf{j}+R(x,y,z)\mathbf{k}$$\mathbf v(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf i+Q(x,y,z)\mathbf j+R(x,y,z)\mathbf k$， $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 是速度场中的有向曲面，$P,Q,R$$P,Q,R$ 都在 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 上连续，计算流量 $\mathrm{\Phi }$$\Phi$

对于一个平面闭平面，其面积为 $A$$A$ ，流体速度为 $\mathbf{v}$$\mathbf v$ ，闭曲面的单位法向量为 $\mathbf{n}$$\mathbf n$，则通过这个闭平面的流量可以表示为一个斜柱体，其体积为 $A\mathbf{v}\cdot \mathbf{n}$$A\mathbf v\cdot\mathbf n$，这就是通过这个闭平面的流量。

而对于曲面 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$，将其分为 $n$$n$ 个小闭曲面，这些小闭曲面可以近似看作闭平面进行处理。对于第 $i$$i$ 个小闭曲面，其流速：

其法向量：

因此，

根据之前定义的投影，有：

因此：

0x01 第二类曲面积分的定义

设 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 是光滑有向曲面，函数 $R(x,y,z)$$R(x,y,z)$ 在 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 上有界。 把 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 任意分成 $n$$n$ 个小曲面 $\mathrm{\Delta }{S}_i$$\Delta S_i$ ，$\mathrm{\Delta }{S}_i$$\Delta S_i$ 在 $xOy$$xOy$ 面上的投影为 $(\mathrm{\Delta }{S}_i{)}_{xy}$$(\Delta S_i)_{xy}$ $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$$(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$ 是 $\mathrm{\Delta }{S}_i$$\Delta S_i$ 上的任意一点，作乘积 $R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)(\mathrm{\Delta }{S}_i{)}_{xy}$$R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{xy}$，并作和 $\sum _{i=1}^{n}R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)(\mathrm{\Delta }{S}_i{)}_{xy}$$\sum_{i=1}^nR(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{xy}$ 如果当各个小块曲面的直径的最大值 $\lambda \to 0$$\lambda\to0$ 时，这个和的极限总存在 与 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 的分发与点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$$(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$ 的取法无关，

则称这个极限为 $R(x,y,z)$$R(x,y,z)$ 在有向曲面 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 上对坐标 $x,y$$x,y$ 的曲面积分，记为：

其中 $R(x,y,z)$$R(x,y,z)$ 叫做被积函数，$\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 叫做积分曲面

也有对坐标 $y,z$$y,z$ 以及对坐标 $x,z$$x,z$ 的曲面积分

这三个曲面积分也称为第二类曲面积分

两个基本性质：

上下侧的积分互为相反数

积分区域的拼合也可以看作积分值的相加

0x02 第二类曲面积分的算法

设积分曲面 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 是 $z=z(x,y)$$z=z(x,y)$ 给出的曲面上侧，$\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 在 $xOy$$xOy$ 面上的投影区域为 $D_{xy}$$D_{xy}$

则：

第二类曲面积分可以这个样子转化成二重积分进行计算。

三、高斯公式及其应用

考纲摘要：掌握用高斯公式计算曲面积分的方法

0x00 高斯公式

设空间闭区域 $\mathrm{\Omega }$$\Omega$ 是由分片光滑的闭曲面 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 所围成 如果函数 $P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$$P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$ 在 $\mathrm{\Omega }$$\Omega$ 上具有一阶连续偏导数，则有：

或者：

这里的 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 是 $\mathrm{\Omega }$$\Omega$ 的整个边界曲面的外侧，$\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$$\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma$ 是 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 在点 $(x,y,z)$$(x,y,z)$ 处的法向量的方向余弦，这就是高斯公式

格林公式描述了一个区域中的二重积分与 以这个区域的边界曲线为积分限的一个曲线积分之间的关系 高斯公式描述了一个区域中的三重积分与 以这个区域的边界曲面为积分限的一个曲面积分之间的关系

利用高斯公式解题的步骤和利用格林公式类似 先把对应的这些函数、区域等给表达出来，然后再进行计算

0x01 沿任意闭曲面的曲线积分为零的条件

与路径无关，则：

且如果是闭合曲面，则积分为0

0x02 通量与散度

考纲摘要：了解散度与旋度的概念，并会计算

四、斯托克斯公式及其应用

考纲摘要：并会用斯托克斯公式计算曲线积分

0x00 斯托克斯公式

设 $\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$ 为分段光滑的空间有向闭曲线，$\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 是以 $\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$ 为边界的分片光滑的有向曲面 $\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$ 的正向与 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 的侧符合【当右手除拇指外的四指依 $\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$ 的绕行方向时，拇指所指的方向与 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 上法向量的指向相同】 若函数 $P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$$P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$ 在曲面 $\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$ 上具有一阶偏导数，则有：

这就是斯托克斯公式

0x01 空间曲线积分与路径无关的条件

0x02 环流量与旋度

考纲摘要：了解散度与旋度的概念，并会计算