高等数学·7 无穷级数

考纲内容

级数的收敛与发散

• 常数项级数的收敛与发散的概念
• 收敛级数的和的概念
• 级数的基本性质与收敛的必要条件

特殊类型的级数及其收敛性

• 几何级数与 $p$$p$ 级数及其收敛性
• 正项级数收敛性的判别法
• 交错级数与莱布尼茨定理
• 任意项级数的绝对收敛与条件收敛

函数项级数

• 函数项级数的收敛域与和函数的概念
• 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域
• 幂级数的和函数
• 幂级数在其收敛区间内的基本性质
• 简单幂级数的和函数的求法
• 初等函数的幂级数展开式

傅里叶级数

• 函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数
• 狄利克雷（Dirichlet）定理
• 函数在 ([-l,l]) 上的傅里叶级数
• 函数在 ([0,l]) 上的正弦级数和余弦级数

一、常数项级数

考纲摘要：理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件

0x00 常数项无穷级数的及其相关概念的定义

• 常数项无穷级数的定义：如果给定一个数列：$u_1,u_2,u_3,\cdots ,u_n,\cdots$$u_1,u_2,u_3,\cdots,u_n,\cdots$，则表达式 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$$\sum_{i=1}^\infty u_i$ 叫做(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，其中第 $n$$n$ 项 $u_n$$u_n$ 叫做级数的一般项
• 部分和：做上述常数项级数的前 $n$$n$ 项和：$s_n=u_1+u_2+\cdots +u_n$$s_n=u_1+u_2+\cdots+u_n$，它称为级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$$\sum_{i=1}^\infty u_i$ 的部分和
• 收敛与发散：如果级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$$\sum_{i=1}^\infty u_i$ 的部分和数列 $\{s_n\}$$\{s_n\}$ 有极限 $s=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_n=s$$s=\lim_{n\to\infty}s_n=s$，那么称无穷级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$$\sum_{i=1}^\infty u_i$ 收敛 这个时候的极限 $s$$s$ 叫做这个级数的和，写作：$s=u_1+u_2+\cdots +u_i+\dots$$s=u_1+u_2+\dots+u_i+\dots$ 如果 $\{s_n\}$$\{s_n\}$ 没有极限，则称无穷级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$$\sum_{i=1}^\infty u_i$ 发散
• 级数的余项：当级数收敛时，其部分和 $s_n$$s_n$ 是级数的和 $s$$s$ 的近似值，其差值：$r_n=s-s_n=u_{n+1}+u_{n+2}+\dots$$r_n=s-s_n=u_{n+1}+u_{n+2}+\dots$ 称为级数的余项，如果用 $s_n$$s_n$ 来替代 $s$$s$ 则误差是余项的绝对值，即 $|r_n|$$|{r_n}|$

0x01 收敛级数的性质

• 如果级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$$\sum_{i=1}^\infty u_i$ 收敛于 $s$$s$，那么级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}k{u}_i$$\sum_{i=1}^\infty ku_i$ 也收敛，且其和为 $ks$$ks$

• 如果级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$$\sum_{i=1}^\infty u_i$ 收敛于 $s$$s$，级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_i$$\sum_{i=1}^\infty v_i$ 收敛于 $\sigma$$\sigma$，则级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i\pm v_i$$\sum_{i=1}^\infty u_i\pm v_i$ 收敛于 $s\pm \sigma$$s\pm\sigma$ 也就是说，两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减

• 在级数中删除或添加有限的项，不会改变级数的收敛性（但是和可能会改变）

• 如果级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$$\sum_{i=1}^\infty u_i$ 收敛，则这个级数的项任意加括号后的新级数 $(u_1+\cdots +u_{n_1})+(u_{n_1+1}+\cdots +u_{n_2})+\cdots +(u_{n_{k-1}+1}+\cdots +u_{n_k})+\cdots$$(u_1+\cdots+u_{n_1})+(u_{n_1+1}+\cdots+u_{n_2})+\cdots+(u_{n_{k-1}+1}+\cdots+u_{n_k})+\cdots$ 仍然收敛，且和不变

  注意：加括号后的级数收敛，原来的级数不一定收敛，例如：$(1-1)+(1-1)+\cdots$$(1-1)+(1-1)+\cdots$ 收敛于 0，而 $1-1+1-1+\cdots$$1-1+1-1+\cdots$ 是发散的

  • 如果加括号后的级数是发散的，则原来的级数也是发散的
  • 如果原来的级数是收敛的，则加括号后的级数也是收敛的

• $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$$\sum_{i=1}^\infty u_i$ 收敛的必要条件是 $\underset{n\to 0}{lim}{u}_n=0$$\lim_{n\to0}u_n=0$

  注意：不是充分条件，例如调和级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i}$$\sum_{n=1}^\infty\cfrac1i$，其一般项趋于0，但它不是收敛级数

• 柯西审敛原理：级数 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_i$$\sum_{i=1}^\infty u_i$ 收敛的充要条件为： 对于任意的整数 $\epsilon$$\varepsilon$ ，总存在正整数 $N$$N$ ，当 $n>N$$n>N$ 时，对于任意正整数 $p$$p$，以下不等式都成立：

  $$|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots +u_{n+p}|<p$$

0x02 常数项无穷级数举例

考纲摘要：掌握几何级数与 $p$$p$ 级数的收敛与发散的条件

1. 几何级数（等比级数）

这个级数叫做几何级数（也叫等比级数），其中 $a\ne 0$$a\ne0$，$q$$q$ 叫做级数的公比

显然，

这个级数的敛散性：

• 如果 $|q|\ge 1$$|q|\ge1$，则这个级数发散
• 如果 $|q|<1$$|q|<1$，则这个级数收敛

2. $p$$p$ 级数（超调和级数）

这个级数叫做 $p$$p$ 级数（也叫超调和级数），当 $p=1$$p=1$ 时，这个级数就是调和级数。

这个级数的敛散性：

• $p>1$$p>1$ 时，$p$$p$ 级数收敛
• $p\le 1$$p\le1$ 时，$p$$p$ 级数发散

二、正项级数的审敛法

考纲摘要：掌握正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法、根值判别法，会用积分判别法

如果一个级数的各项都是正数或者为0，则这种级数就称为正项级数 据说许多级数的收敛性问题都可以归结为正项级数的收敛性问题

0x00 正项级数的审敛法

1. 正项级数收敛的充要条件

正项级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛的充要条件：它的部分和数列 $\{s_n\}$$\{s_n\}$ 有界

2. 比较审敛法

设 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 和 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$$\sum_{n=1}^\infty v_n$ 都是正项级数，且 $u_n\le v_n$$u_n\le v_n$

• 如果 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$$\sum_{n=1}^\infty v_n$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛
• 如果 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 发散，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$$\sum_{n=1}^\infty v_n$ 发散

推论：

设 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 和 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$$\sum_{n=1}^\infty v_n$ 都是正项级数，设有正整数 $N$$N$

• 如果 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$$\sum_{n=1}^\infty v_n$ 收敛， $n\ge N$$n\ge N$ ，有 $u_n\le k{v}_n,k>0$$u_n\le kv_n,k>0$，则级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛
• 如果 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$$\sum_{n=1}^\infty v_n$ 发散，且当 $n\ge N$$n\ge N$ 时有 $u_n\ge k{v}_n,k>0$$u_n\ge kv_n,k>0$ ，则级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 发散

这里的 $k$$k$ 是常数，有些类似于《算法导论》中提到的函数渐进式的概念，毋宁说”放缩法“

比较审敛法的极限形式

设 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 和 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$$\sum_{n=1}^\infty v_n$ 都是正项级数

• 如果 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_n}{v_n}=l(0\le l<+\mathrm{\infty })$$\lim_{n\to\infty}\cfrac{u_n}{v_n}=l(0\le l<+\infty)$ ，且级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$$\sum_{n=1}^\infty v_n$ 收敛，则级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛

• 如果 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_n}{v_n}=l>0,\text{或}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_n}{v_n}=+\mathrm{\infty }$$\lim_{n\to\infty}\cfrac{u_n}{v_n}=l>0,或\lim_{n\to\infty}\cfrac{u_n}{v_n}=+\infty$，且级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$$\sum_{n=1}^\infty v_n$ 发散，则级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 发散

  如果 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_n}{v_n}=+\mathrm{\infty }$$\lim_{n\to\infty}\cfrac{u_n}{v_n}=+\infty$ 且 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$$\sum_{n=1}^\infty v_n$ 收敛，则无法判别 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 的敛散性

3. 比值审敛法

设 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 是正项级数，如果 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$$\lim_{n\to\infty}\cfrac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$

• $\rho <1$$\rho<1$ 时级数收敛
• $\rho >1$$\rho>1$ 时级数发散
• $\rho =1$$\rho=1$ 时级数的敛散性不确定

4. 根值审敛法

根值审敛法

设 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 是正项级数，

如果 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{u_n}=\rho$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho$ ，则：

• $\rho <1$$\rho<1$ 时级数收敛
• $\rho >1$$\rho>1$ 时级数发散
• $\rho =1$$\rho=1$ 时级数的敛散性不确定

5. 极限审敛法

极限审敛法

设 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 是正项级数

• 如果 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{u}_n=l>0$$\lim_{n\to\infty}nu_n=l>0$，则级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 发散
• 设 $p>1$$p>1$，且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^p{u}_n=l,l\in [0\le l<+\mathrm{\infty })$$\lim_{n\to\infty}n^pu_n=l,l\in[0\le l < +\infty)$，则级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛

0x01 正项级数审敛法总结

• 分析出渐进式，尝试使用放缩法，找到一个方便分析敛散性的级数间接论证此级数的敛散性
• 利用比值审敛法或根值审敛法进行论证
• 利用极限审敛法进行论证

三、交错级数的审敛法

考纲摘要：掌握交错级数的莱布尼茨判别法

0x00 交错级数的定义

交错级数是写成这种形式的级数：$u_1-u_2+u_3-u_4+\dots$$u_1-u_2+u_3-u_4+\dots$ 或者 $-u_1+u_2-u_3+u_4-\dots$$-u_1+u_2-u_3+u_4-\dots$

可以分别记作 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} u_n$ 和 $\sum _{n_1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{u}_n$$\sum_{n_1}^\infty(-1)^nu_n$

0x01 交错级数的审敛法（莱布尼茨定理）

如果交错级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n$ 满足条件：

• $u_n\ge u_{n+1},n=1,2,3,\dots$$u_n\ge u_{n+1},n=1,2,3,\dots$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$$\lim_{n\to\infty}u_n=0$

则这个级数收敛，且其和 $s\le u_1$$s\le u_1$，其余项 $r_n$$r_n$ 的绝对值 $|r_n|\le u_{n+1}$$|r_n|\le u_{n+1}$

四、绝对收敛与条件收敛

考纲摘要：了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系

对于级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ ，其每一项都是任意实数

• 如果 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|u_n|$$\sum_{n=1}^\infty |u_n|$ 收敛，则称 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 为绝对收敛
• 如果 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛但 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|u_n|$$\sum_{n=1}^\infty |u_n|$ 发散，则称 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 条件收敛

绝对收敛与条件收敛的性质：

• 如果级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 绝对收敛，则级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n$ 必定收敛
• 绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛，且和与原级数有相同的和

级数的柯西乘积

考纲摘要：2024 年数学一考纲上好像没有，但是仍然对其进行摘录

设有级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n,\sum_{n=1}^\infty v_n$，构造它的以下乘积：

然后按对角线法，将其排列成一个级数：

称这个级数为 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n,\sum_{n=1}^\infty v_n$ 的柯西乘积

设 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$$\sum_{n=1}^\infty u_n,\sum_{n=1}^\infty v_n$ 分别收敛于 $s,\sigma$$s,\sigma$，则它们的柯西乘积收敛于 $s\sigma$$s\sigma$

五、函数项级数的概念

考纲摘要：了解函数项级数的收敛域及和函数的概念

设 $u_i(x)$$u_i(x)$ 的定义域是 $I$$I$ ，则 $u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+\cdots +u_n(x)+\dots$$u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+\dots+u_n(x)+\dots$ 称作定义在 $I$$I$ 上的函数项无穷级数

在 $I$$I$ 取一个确定的值 $x_0$$x_0$ ，就可以得到一个常数项级数 $u_1(x_0)+u_2(x_0)+u_3(x_0)+\cdots +u_n(x_0)+\dots$$u_1(x_0)+u_2(x_0)+u_3(x_0)+\dots+u_n(x_0)+\dots$

• 如果这个常数项级数收敛，则称 $x_0$$x_0$ 为该函数项级数的收敛点
• 如果这个常数项级数发散，则称 $x_0$$x_0$ 为该函数项级数的发散点
• 全部收敛点的集合称为收敛域
• 全部发散点的集合称为发散域

在收敛域上，函数项级数的和是 $x$$x$ 的函数 $s(x)$$s(x)$，称 $s(x)$$s(x)$ 为函数项级数的和函数，

这个函数的定义域就是这个函数项级数的收敛域。也就是：

函数项级数的前 $n$$n$ 项的部分和记作 $s_n(x)$$s_n(x)$，则在收敛域上有：

记 $r_n(x)=r(x)-s_n(x)$$r_n(x)=r(x)-s_n(x)$，则 $r_n(x)$$r_n(x)$ 称作函数项级数的 余项

六、幂级数及其收敛性

考纲摘要：

1. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念
2. 理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法
3. 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求文出某些数项级数的和

幂级数的基本形式：

其中，$a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n,\dots$$a_0,a_1,a_2,\dots,a_n,\dots$ 叫做幂级数的系数

对于以下幂级数：

$(-1,1)$$(-1,1)$ 就是它的收敛区间，此时它收敛于 $\frac{1}{1-x}$$\cfrac1{1-x}$，而其发散域就是 $(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,\mathrm{\infty }]$$(-\infty,-1]\cup[1,\infty]$

0x00 阿贝尔定理

如果级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 在 $x=x_0$$x=x_0$ 时收敛，那么 $\mathrm{\forall }x\in (-|x_0|,|x_0|)$$\forall x\in(-|x_0|,|x_0|)$, $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 收敛

如果 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 在 $x=x_0$$x=x_0$ 时发散，那么 $\mathrm{\forall }x\in (-\mathrm{\infty },-|x_0|)\cup (|x_0|,+\mathrm{\infty })$$\forall x\in (-\infty,-|x_0|)\cup(|x_0|,+\infty)$, $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 发散

0x01 收敛半径

• 如果幂级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 不仅在 $x=0$$x=0$ 点收敛，也不在整个数轴上收敛，则必有 $R>0$$R>0$ ，使得：
• 当 $|x|<R$$|x|<R$ 时，幂级数绝对收敛
• 当 $|x|>R$$|x|>R$ 时，幂级数发散
• 当 $x=\pm R$$x=\pm R$ 时，幂级数敛散性不确定，需要单独论证

这个 $R$$R$ 就称作幂级数的收敛半径，开区间 $(-R,R)$$(-R, R)$ 称为收敛区间

收敛半径的计算

对于幂级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$，如果：

则这个幂级数的收敛半径为：

七、幂级数的运算

0x00 幂级数之间的加减乘除

设有以下两个幂级数：

且分别在区间 $(-R,R),(-R^{\prime },R)$$(-R,R),(-R',R)$ 内收敛。

1. 加减法

$(a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots +a_n{x}^n+\dots )\pm (b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+b_3{x}^3+\cdots +a_n{x}^n+\dots )$$(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\dots+a_nx^n+\dots)\pm(b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+\dots+a_nx^n+\dots)$

$=(a_0\pm b_0)+(a_1\pm b_1)x+(a_2\pm b_2)x^2+(a_3\pm b_3)x^3+\cdots +(a_n\pm b_n)x^n+\dots$$=(a_0\pm b_0)+(a_1\pm b_1)x+(a_2\pm b_2)x^2+(a_3\pm b_3)x^3+\dots+(a_n\pm b_n)x^n+\dots$

上式在 $(-R,R),(-R^{\prime },R^{\prime })$$(-R,R),(-R',R')$ 中较小的区间内成立

2. 乘法

$(a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots +a_n{x}^n+\dots )(b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+b_3{x}^3+\cdots +a_n{x}^n+\dots )$$(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\dots+a_nx^n+\dots) (b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+\dots+a_nx^n+\dots)$

$=a_0{b}_0+(a_0{b}_1+a_1{b}_0)x+(a_0{b}_2+a_1{b}_1+a_2{b}_0)x^2+\cdots +(a_0{b}_n+a_1{b}_{n-1}+\cdots +a_{n-1}{b}_1+a_n{b}_0)x^n+\dots$$=a_0b_0+(a_0b_1+a_1b_0)x+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)x^2+\dots+(a_0b_n+a_1b_{n-1}+\dots+a_{n-1}b_1+a_nb_0)x^n+\dots$

这也叫两个幂级数的柯西乘积，上式在 $(-R,R),(-R^{\prime },R)$$(-R,R),(-R',R)$ 中较小的区间内成立

3. 除法

假设 $b\ne 0$$b\ne0$，有关 $c_i$$c_i$ 的求法：

与柯西乘积在形式上类似

0x01 和函数的性质

• 幂级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的和函数 $s(x)$$s(x)$ 在其收敛域 $I$$I$ 上连续
• 幂函数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的和函数 $s(x)$$s(x)$ 在其收敛域 $I$$I$ 上可积，且有逐项积分公式：

并且 ${\int }_0^{x}s(t)\mathrm{d}t$$\int_0^xs(t)\mathrm dt$ 的收敛半径不变（收敛域可能改变）

• 幂级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的和函数 $s(x)$$s(x)$ 在其收敛区间 $(-R,R)$$(-R,R)$ 内可导，且有逐项求导公式：

  $$s^{\prime }(x)={\left[\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\right]}^{\prime }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_n{x}^n{)}^{\prime }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n{x}^{n-1},|x|<R$$

  因此，$s(x)$$s(x)$ 在其收敛区间 $(-R,R)$$(-R,R)$ 内具有任意阶导数

  并且 $s^{\prime }(x)$$s'(x)$ 的收敛半径不变（收敛域可能改变）

八、函数展开成幂级数

考纲摘要：

1. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件
2. 掌握 $e^x,\sin x,\cos x,\ln (1+x),(1+x{)}^a$$e^x,\sin x,\cos x,\ln(1+x),(1+x)^a$ 的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数。

0x00 泰勒级数

如果 $f(x)$$f(x)$ 在某个 $U(x_0)$$U(x_0)$ 内具有任意阶导数，则 $x\in U$$x\in U$，有：

这是函数 $f(x)$$f(x)$ 在点 $x_0$$x_0$ 处的泰勒级数，取 $x_0=0$$x_0=0$ ，则称之为麦克劳林级数

函数可以展开为泰勒级数的充要条件

设函数 $f(x)$$f(x)$ 在点 $x_0$$x_0$ 的某一邻域 $U(x_0)$$U(x_0)$ 内具有各阶导数，则 $f(x)$$f(x)$ 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是在该邻域内 $f(x)$$f(x)$ 的泰勒公式中的余项 $R_n(x)$$R_n(x)$ 满足：

0x01 常见泰勒级数

通过对这些常见级数进行求导、积分等，可以求出一些简单函数的泰勒级数

九、傅里叶级数

考纲摘要：会写出傅里叶级数的和函数的表达式。

对于正弦函数 $y=A\sin (\omega t+\phi )$$y=A\sin(\omega t+\varphi)$：

• 周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$$T=\cfrac{2\pi}\omega$
• $y$$y$ 表示动点的位置
• $A$$A$ 表示振幅
• $\omega$$\omega$ 为角频率
• $\phi$$\varphi$ 为初相

0x00 傅里叶级数的定义

考纲摘要：了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理

以 $2\pi$$2\pi$ 为周期的三角级数的一般形式：

三角函数系：

三角函数系在 $[-\pi ,\pi ]$$[-\pi,\pi]$ 上正交，即该系中的任意两个函数的乘积在 $[-\pi ,\pi ]$$[-\pi,\pi]$ 上的积分为 0

傅里叶级数的推导过程：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$$

左右在 $[-\pi ,\pi ]$$[-\pi,\pi]$ 上做积分，由于三角函数系的正交性，有：

$$\begin{array}{c}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm{d}x={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{a_0}{2}\mathrm{d}x=a_0\pi \\ a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

然后在 $f(x)$$f(x)$ 左右乘以 $\cos nx$$\cos nx$ 再在 $-[\pi ,\pi ]$$-[\pi,\pi]$ 上做积分，由于三角函数系的特性，有：

$$\begin{array}{c}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x=a_n{\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^{2}nx\mathrm{d}x=a_n\pi \\ a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x\end{array}$$

同理也可以用于推导所有 $b_k$$b_k$ 系数

傅里叶系数：

将这些系数代入三角级数的一般形式，就叫函数 $f(x)$$f(x)$ 的傅里叶级数

性质

傅里叶级数的收敛定理（狄利克雷充分条件）：

设 $f(x)$$f(x)$ 是周期为 $2\pi$$2\pi$ 的周期函数，如果它满足：

• 在一个周期内连续或者只有有限个第一类间断点
• 在一个周期内至多只有有限个极值点

那么 $f(x)$$f(x)$ 的傅里叶级数收敛，并且：

• 当 $x$$x$ 是 $f(x)$$f(x)$ 的连续点时，级数收敛于 $f(x)$$f(x)$
• 当 $x$$x$ 是 $f(x)$$f(x)$ 的间断点时，级数收敛于 $\frac{1}{2}[f(x^{-})+f(x^{+})]$$\cfrac12[f(x^-)+f(x^+)]$

周期为 $2l$$2l$ 的周期函数的傅里叶级数

考纲摘要：会将定义在 $[-l,l]$$[-l,l]$ 上的函数展开为傅里叶级数

设周期为 $2l$$2l$ 的周期函数 $f(x)$$f(x)$ 满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为：

其中：

• 当 $f(x)$$f(x)$ 是奇函数时

  $$\begin{array}{c}f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\sin \frac{n\pi x}{l},x\in C\\ b_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x,n=1,2,3,\cdots \end{array}$$

• 当 $f(x)$$f(x)$ 是偶函数时

  $$\begin{array}{c}f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cos \frac{n\pi x}{l},x\in C\\ a_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x,n=0,1,2,\cdots \end{array}$$

0x01 正弦级数和余弦级数

当 $f(x)$$f(x)$ 是奇函数时，$f(x)\cos nx$$f(x)\cos nx$ 是奇函数，$f(x)\sin nx$$f(x)\sin nx$ 是偶函数，因此：

$f(x)$$f(x)$ 的傅里叶级数只含正弦项，因此 $f(x)$$f(x)$ 的傅里叶级数是正弦级数

当 $f(x)$$f(x)$ 是偶函数时，$f(x)\cos nx$$f(x)\cos nx$ 是偶函数，$f(x)\sin nx$$f(x)\sin nx$ 是基函数，因此：

$f(x)$$f(x)$ 的傅里叶级数只含常数项和余弦项，因此 $f(x)$$f(x)$ 的傅里叶级数是余弦级数