高等数学·8 常微分方程

考纲内容

• 常微分方程的基本概念
• 变量可分离的微分方程
• 齐次微分方程
• 一阶线性微分方程
• 伯努利（Bernoulli）方程
• 全微分方程
• 可用简单的变量代换求解的某些微分方程
• 可降阶的高阶微分方程
• 线性微分方程解的性质及解的结构定理
• 二阶常系数齐次线性微分方程
• 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程
• 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程
• 欧拉（Euler）方程
• 微分方程的简单应用

一、微分方程基本概念

考纲摘要：了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念

• 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫做微分方程
• 微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶

$n$$n$ 阶微分方程的一般形式：

• 微分方程的解：设函数 $y=\phi (x)$$y=\varphi(x)$ 在区间 $I$$I$ 上有 $n$$n$ 阶连续导数，如果在区间 $I$$I$ 上 $F[x,\phi (x),{\phi }^{\prime }(x),\cdots ,{\phi }^{(n)}]=0$$F[x,\varphi(x),\varphi'(x),\cdots,\varphi^{(n)}]=0$，那么函数 $\phi (x)$$\varphi(x)$ 就叫该微分方程在区间 $I$$I$ 上的解
• 微分方程的通解：如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解就是微分方程的通解
• 当给定初始条件时，通解中的任意常数就可以被确定，这样就可以得到微分方程的特解

二、一阶微分方程

0x00 可分离变量的微分方程

考纲摘要：掌握变量可分离的微分方程的解法

如果一个一阶微分方程可以写成 $g(y)\mathrm{d}y=f(x)\mathrm{d}x$$g(y)\mathrm dy=f(x)\mathrm dx$ 的形式，这个方程就叫做可分离变量的微分方程

左右积分可得 $G(y)=F(x)+C$$G(y)=F(x)+C$ 这就叫做隐式通解

考法：

• 求解可分离变量的微分方程
• 列出微分方程（通常是可分离变量的微分方程），求解简单的实际问题

0x01 一阶线性微分方程

考纲摘要：一阶线性微分方程的解法

1. 一般的一阶线性微分方程

一阶线性微分方程的基本形式如下所示：

如果 $Q(x)\equiv 0$$Q(x)\equiv0$，则称之为齐次线性方程。 齐次线性方程的求解公式：

非齐次线性方程的求解公式：

然后用这个 $u$$u$ 替换齐次线性方程公式中的 $C$$C$ 即可。

完整的非齐次线性微分方程求解公式：

技巧：可以先求出 $\int P(x)\mathrm{d}x$$\int P(x)\mathrm dx$

2. 伯努利方程

考纲摘要：会解伯努利方程

伯努利方程的基本形式：

限定 $n\ne 0,1$$n\ne0,1$ 是因为如果 $n=0,1$$n=0,1$，方程就可以直接化成一个一阶线性微分方程

对这个方程变形：

显然，$y^{-n}\mathrm{d}y=\frac{1}{1-n}\mathrm{d}{y}^{1-n}$$y^{-n}\mathrm dy=\cfrac1{1-n}\mathrm dy^{1-n}$ 那么，只需令 $z=y^{1-n}$$z=y^{1-n}$，就可以得到一个一阶线性微分方程：

之后，按照一阶线性微分方程的解法求出 $z$$z$ 后即可求出 $y$$y$

3. 题型

• 求解一阶线性微分方程
• 列出一阶线性微分方程解决一些简单的实际问题
• 利用变量代换把微分方程化为可分离变量的微分方程并进行求解
• 求解伯努利方程

0x02 齐次微分方程

考纲摘要：会解齐次微分方程

1. 齐次方程的解法

如果一个方程可以化为这样的形式：

则称之为齐次方程

齐次方程的解法：

令 $u=\frac{y}{x}$$u=\cfrac yx$

直接得到：

两边积分即可，再用 $y$$y$ 和 $u$$u$ 的关系化一下即可。

推导过程

$$\begin{array}{c}y=ux,\mathrm{d}y=\mathrm{d}(ux)=x\mathrm{d}u+u\mathrm{d}x\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\end{array}$$

也就是说：

$$u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\varphi (u)$$

进而化成：

$$\frac{\mathrm{d}u}{\varphi (u)-u}=\frac{\mathrm{d}x}{x}$$

这样两边积分之后，求出了 $u(x)$$u(x)$，那么 $y(x)=xu(x)$$y(x)=xu(x)$

2. 把微分方程化为齐次方程

以下方程：

当 $c=c_1=0$$c=c_1=0$ 时，可以直接化成齐次方程，而在其不为 0 时，可以先做如下变换：

令 $X=x+h,Y=y+k$$X=x+h,Y=y+k$，则 $\mathrm{d}X=\mathrm{d}x,\mathrm{d}Y=\mathrm{d}y$$\mathrm dX=\mathrm dx,\mathrm dY=\mathrm dy$ 那么，有：

求解以下方程：

这样求出的 $h,k$$h,k$ 会使得原方程中不再含有常数项，因此可以进一步化为齐次方程，之后就可以按照齐次方程的解法对其进行求解

• 求解可以化为齐次方程的一阶微分方程
• 把一阶微分方程化为齐次方程

0x04 全微分方程

考纲摘要：会接全微分方程

全微分方程的基本形式：

判断一个方程是否是全微分方程，需要检查以下条件是否成立：

如果这个条件成立，则存在一个函数 $F(x,y)$$F(x,y)$，使得：

这就是全微分的形式，可以很方便的求出 $F(x,y)$$F(x,y)$，这样一来，所求微分方程就是隐函数 $F(x,y)=0$$F(x,y)=0$

考虑二元函数的全微分的形式：

$$\mathrm{d}F=\frac{\partial F}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial F}{\partial y}\mathrm{d}y$$

所以这里 $M$$M$ 被期望为 $\frac{\partial F}{\partial x}$$\cfrac{\partial F}{\partial x}$，$N$$N$ 被期望为 $\frac{\partial F}{\partial y}$$\cfrac{\partial F}{\partial y}$，而需要检查的条件 $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$\cfrac{\partial M}{\partial y} = \cfrac{\partial N}{\partial x}$，本质上是在测试：

$$\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y\partial x}$$

根据偏微分的性质，这个条件必须是成立的，否则 $M,N$$M,N$ 就不是同一个二元函数不同变量的偏导数。

高阶微分方程

五、可降阶的高阶微分方程

考纲摘要：会用降阶法解下列形式的微分方程：$y^{(n)}=f(x),y^{″}=f(x,y^{\prime }),y^{″}=f(y,y^{\prime })$$y^{(n)}=f(x),y''=f(x,y'),y''=f(y,y')$

0x00 $y^{(n)}=f(x)$$y^{(n)}=f(x)$ 型

显然，有：

进行 $n$$n$ 次积分后即可求解出 $y$$y$

0x01 $y^{″}=f(x,y^{\prime })$$y''=f(x,y')$ 型

可以设 $p=y^{\prime }$$p=y'$，则 $y^{″}=p^{\prime }$$y''=p'$，原方程可化为

这就成了一个一阶微分方程，利用一阶微分方程的解法求解出 $p(x,C_1)$$p(x,C_1)$，则 $y=\int p(x,C_1)\mathrm{d}x+C_2$$y=\int p(x,C_1)\mathrm dx+C_2$

0x02 $y^{″}=f(y,y^{\prime })$$y''=f(y,y')$ 型

令 $y^{\prime }=p$$y'=p$ 那么：

这样就得到了一阶微分方程：

进一步，利用一阶微分方程的解法求出 $p=\phi (y,C_1)$$p=\varphi(y,C_1)$

显然，这样一来实际上相当于降阶地得到了：

这样一个一阶微分方程方程，再次利用一阶微分方程的解法求解该方程，即可求出 $y$$y$

0x03 题型

• 求解一些简单的可降到一阶的高阶微分方程
• 利用这样的微分方程求解一些简单的实际问题

六、高阶线性微分方程

考纲摘要：理解线性微分方程解的性质及解的结构

0x00 重点知识

1. $n$$n$ 阶齐次线性方程

基本形式：

如果 $y_1(x).y_2(x),\dots ,y_n(x)$$y_1(x).y_2(x),\dots,y_n(x)$ 是上面的方程的 $n$$n$ 个线性无关的解 那么，$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+\cdots +C_n{y}_n(x)$$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+\dots+C_ny_n(x)$ 就是这个方程的通解

对于 $n$$n$ 个函数 $y_1(x),y_2(x),\dots ,y_n(x)$$y_1(x),y_2(x),\dots,y_n(x)$，存在不全为零的 $n$$n$ 个数 $k_1,k_2,\dots ,k_n$$k_1,k_2,\dots,k_n$，使得 $k_1{y}_1(x)+k_2{y}_2(x)+\cdots +k_n{y}_n(x)\equiv 0$$k_1y_1(x)+k_2y_2(x)+\dots+k_ny_n(x)\equiv 0$，则称这 $n$$n$ 个函数是线性相关的，否则就是线性无关

在这里，主要研究 2 阶齐次线性方程

2. 2 阶非齐次线性方程的通解

2 阶非齐次线性方程的基本形式：

设 $y^{\ast }(x)$$y^*(x)$ 是其特解，$Y(x)$$Y(x)$ 是其对应的齐次线性方程的通解，则

是该 2 阶非齐次线性方程的通解

其中，特解存在叠加原理，即如果方程表示成：

而 $y_1^{\ast }(x),y_2^{\ast }(x)$$y_1^*(x),y_2^*(x)$ 分别是

的特解，则 $y_1^{\ast }(x)+y_2^{\ast }(x)$$y_1^*(x)+y_2^*(x)$ 是原方程的特解。

3. 常数变易法求非齐次线性方程的通解

已知对应的齐次线性方程的通解：$Y(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$$Y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$ 可利用常数变易法求出非齐次线性方程的通解

可用未知函数 $u_1(x),u_2(x)$$u_1(x),u_2(x)$ 替换 $C_1,C_2$$C_1,C_2$ 得到 $y=u_1{y}_1+u_2{y}_2$$y=u_1y_1+u_2y_2$ 求导，得 $y^{\prime }=u_1{y}_1^{\prime }+u_2{y}_2^{\prime }+u_1^{\prime }{y}_1+u_2^{\prime }{y}_2$$y'=u_1y_1'+u_2y_2'+u_1'y_1+u_2'y_2$

设 $u_1^{\prime }{y}_1+u_2^{\prime }{y}_2\equiv 0$$u_1'y_1+u_2'y_2\equiv0$

在此条件下，$y^{\prime }=u_1{y}_1^{\prime }+u_2{y}_2^{\prime },y^{″}=u_1{y}_1^{″}+u_2{y}_2^{″}+u_1^{\prime }{y}_1^{\prime }+u_2^{\prime }{y}_2^{\prime }$$y'=u_1y_1'+u_2y_2',y''=u_1y_1''+u_2y_2''+u_1'y_1'+u_2'y_2'$ 代入 $y^{″}+P{y}^{\prime }+Qy=F$$y''+Py'+Qy=F$ 中：

这样一来就得到了以下方程：

设

利用克拉默法则求解，则有：

对 $u_1^{\prime },u_2^{\prime }$$u_1',u_2'$ 积分即可得到 $u_1,u_2$$u_1,u_2$ ，代入后，即可得到非齐次线性方程的通解。

0x01 题型

• 判断函数是否线性无关
• 给出高阶线性微分方程的特解，求通解
• 验证通解（利用所谓高阶微分方程解的结构的理论来验证）
• 猜出并验证高阶微分方程的特解，验证其线性无关，进而得到其通解
• 给出非齐次线性方程对应的齐次线性方程的通解，求解非齐次线性方程的通解（可用常数变易法）

七、常系数齐次线性微分方程

考纲摘要：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程

0x00 二阶常系数齐次线性微分方程的求解

二阶常系数齐次线性微分方程的基本形式：$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$$y''+py'+qy=0$ 很容易求解，只需遵循以下步骤即可：

• 求解其特征方程 $r^2+pr+q=0$$r^2+pr+q=0$，得到两个根 $r_1,r_2$$r_1,r_2$
• 按照 $\mathrm{\Delta }=p^2-4q$$\Delta=p^2-4q$ 判别式的情况，对照下表写出通解即可

其中，如果 $r_1,r_2$$r_1,r_2$ 是两个复根，也就是 $\mathrm{\Delta }<0$$\Delta<0$ 且 $r_1=\alpha +\beta i,r_2=\alpha -\beta i$$r_1=\alpha+\beta i,r_2=\alpha-\beta i$，其虚数表示中的 $\alpha ,\beta$$\alpha,\beta$，就是通解里的参数

0x01 二阶以上的常系数齐次线性微分方程的求解

其基本形式：$y^{(n)}+p_1{y}^{(n-1)}+\cdots +p_{n-1}{y}^{\prime }+p_{n}y=0$$y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+\dots+p_{n-1}y'+p_ny=0$

其特征方程为：$r^n+p_1{r}^{n-1}+\cdots +p_{n-1}r+p_n=0$$r^n+p_1r^{n-1}+\dots+p_{n-1}r+p_n=0$ 这是一个关于 $r$$r$ 的 $n$$n$ 次方程

八、常系数非齐次线性微分方程

考纲摘要：会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们 y 的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：

要解这个方程，只需要求出 $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$$y''+py'+qy=0$ 的通解 $Y(x)$$Y(x)$ 及方程本身的特解 $y^{\ast }(x)$$y^*(x)$ 即可 而求解 $Y(x)$$Y(x)$ 的方法在上一节已经充分讨论，在这里只需关注 $y^{\ast }(x)$$y^*(x)$ 的求解。求解 $y^{\ast }$$y^*$ 的一种方法是待定系数法，利用这种方法，不需要进行不定积分也可求解出该特解。

0x00 $f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$ 型

这里 $P_m(x)$$P_m(x)$ 指的是一个关于 $x$$x$ 的多项式，也就是：

首先，推测 $y^{\ast }=R(x)e^{\lambda x}$$y^*=R(x)e^{\lambda x}$ 是该方程的特解的形式，其中 $R(x)$$R(x)$ 是一个多项式。进一步有：

将它们代入原方程，左右约去 $e^{\lambda x}$$e^{\lambda x}$，则有：

• 如果 ${\lambda }^2+p\lambda +q\ne 0$$\lambda^2+p\lambda+q\ne0$，则只需令 $R(x)=b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\cdots +b_{m-1}x+b_m$$R(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+b_{m-1}x+b_m$，代入方程后，联立关于 $b_0,\cdots ,b_m$$b_0,\cdots,b_m$ 与 $a_0,\cdots ,a_m$$a_0,\cdots,a_m$ 的线性方程组进行求解即可
• 如果 $\lambda$$\lambda$ 是 $r^2+pr+q=0$$r^2+pr+q=0$ 的单根，则 ${\lambda }^2+p\lambda +q=0,2\lambda +p\ne 0$$\lambda^2+p\lambda+q=0,2\lambda+p\ne 0$ 则只需令 $R(x)=x{R}_m(x)$$R(x)=xR_m(x)$，列线性方程组进行求解即可（$R^{\prime }(x)$$R'(x)$ 必须是 $m$$m$ 次多项式）
• 如果 $\lambda$$\lambda$ 是 $r^2+pr+q=0$$r^2+pr+q=0$ 的重根，则 ${\lambda }^2+p\lambda +q=0,2\lambda +p=0$$\lambda^2+p\lambda+q=0,2\lambda+p=0$ 则只需令 $R(x)=x^2{R}_m(x)$$R(x)=x^2R_m(x)$，列线性方程组进行求解即可（$R^{″}(x)$$R''(x)$ 必须是 $m$$m$ 次多项式）

0x01 $f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos \omega x+Q_n(x)\sin \omega x]$$f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos\omega x+Q_n(x)\sin \omega x]$ 型

首先可以利用欧拉公式将 $f(x)$$f(x)$ 表示成复变指数函数的形式：

$$\begin{array}{c}f(x)=e^{\lambda x}[P_l\cos \omega x+Q_n\sin \omega x]=\\ e^{\lambda x}[P_l\frac{e^{\omega xi}+e^{-\omega xi}}{2}+Q_n\frac{e^{\omega xi}-e^{-\omega xi}}{2i}]=\\ (\frac{P_l}{2}+\frac{Q_n}{2i})e^{(\lambda +\omega i)x}+(\frac{P_l}{2}-\frac{Q_n}{2i})e^{(\lambda -\omega i)x}=\\ P(x)e^{(\lambda +\omega i)x}+\bar{P}(x)e^{(\lambda -\omega i)x}\end{array}$$

其中，$P(x),\bar{P}(x)$$P(x),\overline P(x)$ 是共轭的 $m$$m$ 次多项式，$m=max\{l,n\}$$m=\max\{l,n\}$：

$$\begin{array}{c}P(x)=\frac{P_l}{2}+\frac{Q_n}{2i}=\frac{P_l}{2}-\frac{Q_n}{2}i\\ \bar{P}(x)=\frac{P_l}{2}-\frac{Q_n}{2i}=\frac{P_l}{2}+\frac{Q_n}{2}i\end{array}$$

利用求解 $f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$ 的方法求解

$$\begin{array}{c}{y}^{″}+p{y}^{\prime }+qy=P(x)e^{(\lambda +\omega i)x}\end{array}$$

得到 $y_1^{\ast }=x^k{R}_m{e}^{(\lambda +\omega i)x}$$y_1^*=x^k R_me^{(\lambda+\omega i)x}$，而 $y_2^{\ast }=x_k{\bar{R}}_m{e}^{(\lambda -\omega i)x}$$y_2^*=x_k\overline R_m e^{(\lambda-\omega i)x}$ 则是

$$\begin{array}{c}{y}^{″}+p{y}^{\prime }+qy=\bar{P}(x)e^{(\lambda -\omega i)x}\end{array}$$

的特解。其中，$R_m,{\bar{R}}_m$$R_m,\overline R_m$ 是共轭的多项式。$y_1^{\ast },y_2^{\ast }$$y_1^*,y_2^*$ 是共轭的，因此它们相加后无虚部且为原方程的特解，因此：

$$\begin{array}{c}{y}^{\ast }=x^k{e}^{\lambda x}[R_m{e}^{\omega xi}+{\bar{R}}_m{e}^{-\omega xi}]=\\ x^k{e}^{\lambda x}[R_m(\cos \omega x+i\sin \omega x)+{\bar{R}}_m(\cos \omega x-i\sin \omega x)]=\\ x^k{e}^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos \omega x+R_m^{(2)}(x)\sin \omega x]\end{array}$$

$y^{\ast }=x^k{e}^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos \omega x+R_m^{(2)}(x)\sin \omega x]$$y^*=x^ke^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos\omega x+R_m^{(2)}(x)\sin\omega x]$，这就是特解可设为的形式。

其中，$R_m^{(1)}(x),R_m^{(2)}(x)$$R_m^{(1)}(x),R_m^{(2)}(x)$ 是 $m$$m$ 次多项式，$m=max\{l,n\}$$m=\max\{l,n\}$，$k$$k$ 的取值：

• 如果 $\lambda +\omega i$$\lambda+\omega i$ 不是特征方程的根，则 $k=0$$k=0$
• 如果 $\lambda +\omega i$$\lambda+\omega i$ 是特征方程的单根，则 $k=1$$k=1$

九、欧拉方程

考纲摘要：会解欧拉方程

欧拉方程的一般形式：

做变换 $x=e^t,t=\ln x$$x=e^t,t=\ln x$，则有：

一般地，有：

将其代入欧拉方程，即可得到一个以 $t$$t$ 为自变量的常系数线性微分方程，然后进一步求解即可。