概率论·1 随机事件与概率

考纲内容

• 随机事件与样本空间
• 事件的关系与运算
• 完备事件组
• 概率的概念
• 概率的基本性质
• 古典型概率
• 几何型概率
• 条件概率
• 概率的基本公式
• 事件的独立性
• 独立重复试验

一、样本空间与随机事件

考纲摘要：了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算

0x00 相关概念的定义

• 随机试验：具有以下三种特点的试验称作随机试验：

  1. 可以在相同的条件下重复地进行
  2. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果
  3. 进行一次试验前不能确定哪个结果会出现

• 样本空间：将随机试验 $E$$E$ 的所有可能结果组成的集合称为 $E$$E$ 的样本空间，记作 $S$$S$，其中的每个元素称作样本点

• 随机事件：称试验 $E$$E$ 的样本空间 $S$$S$ 的子集为 $E$$E$ 的随机事件，简称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生

  • 基本事件：由一个样本点组成的单点集称作基本事件
  • 必然事件：样本空间 $S$$S$ 包含所有样本点，每次试验它是必然发生的，因此称之为必然事件
  • 不可能事件：空集 $\mathrm{\varnothing }$$\empty$ 不包含任何样本点，每次试验它都不会发生，因此称之为不可能事件

0x01 事件的关系及运算

• 若 $A\subset B$$A\subset B$，则称事件 $B$$B$ 包含事件 $A$$A$，这指的是事件 $A$$A$ 的发生必然导致事件 $B$$B$ 的发生 若 $A=B$$A=B$，则称事件 $A$$A$ 与事件 $B$$B$ 相等
• 事件 $A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$$A\cup B=\{x|x\in A\or x\in B\}$ 称作事件 $A$$A$ 与事件 $B$$B$ 的和事件
• 事件 $A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$$A\cap B=\{x|x\in A\and x\in B\}$ 称作事件 $A$$A$ 与事件 $B$$B$ 的积事件，简记为 $AB$$AB$
• 事件 $A-B=\{x|x\in A\wedge x\notin B\}$$A-B=\{x|x\in A\and x\notin B\}$ 称作事件 $A$$A$ 与事件 $B$$B$ 的差事件
• 如果 $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$$A\cap B=\empty$，称事件 $A$$A$ 与事件 $B$$B$ 是互不相容的（或互斥的）
• 如果 $A\cup B=S\wedge A\cap B=\mathrm{\varnothing }$$A\cup B=S\and A\cap B=\empty$，则称事件 $A$$A$ 与事件 $B$$B$ 互为逆事件（或互为对立事件），记作 $B=\bar{A}=S-A$$B=\overline A=S-A$

事件运算的性质：

• 交换律：$A\cup B=B\cup A,A\cap B=B\cap A$$A\cup B=B\cup A,A\cap B=B\cap A$
• 结合律： $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$$A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$$A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$
• 分配律： $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$ $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$
• 德·摩根律：$\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B},\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$$\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B,\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B$

二、概率

考纲摘要：

1. 理解概率的概念，掌握概率的基本性质
2. 掌握概率的加法公式、减法公式

0x00 频率

在相同的条件下，进行 $n$$n$ 次试验，其中，$A$$A$ 发生的次数 $n_A$$n_A$ 称为事件 $A$$A$ 发生的频数，比值 $\frac{n_A}{n}$$\cfrac{n_A}{n}$ 称作事件 $A$$A$ 发生的频率，记作 $f_n(A)$$f_n(A)$,

性质：

• $0\le f_n(A)\le 1$$0\le f_n(A)\le1$
• $f_n(S)=1$$f_n(S)=1$
• 若 $A_1,A_2,\cdots ,A_k$$A_1,A_2,\cdots,A_k$ 是两两互不相容的事件，则 $f_n(\bigcup _{i=1}^k{A}_i)=\sum _{i=1}^k{f}_n(A_i)$$f_n(\bigcup_{i=1}^kA_i)=\sum_{i=1}^kf_n(A_i)$

0x01 概率的定义及其性质

设 $E$$E$ 是随机试验，$S$$S$ 是它的样本空间，对于 $E$$E$ 的每个事件 $A$$A$ 赋予一个实数 $P(A)$$P(A)$，称作事件 $A$$A$ 的概率，集合函数 $P$$P$ 满足以下条件：

• 非负性：$\mathrm{\forall }A\subset S,P(A)\ge 0$$\forall A\subset S,P(A)\ge0$
• 规范性：$P(S)=1$$P(S)=1$
• 可列可加性：设 $A_1,A_2,\cdots$$A_1,A_2,\cdots$ 是两两互不相容的事件，则 $P(A_1\cup A_2\cup \cdots )=P(A_1)+P(A_2)+\cdots$$P(A_1\cup A_2\cup\cdots)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots$

当试验次数 $n\to \mathrm{\infty }$$n\to\infty$ 时，$f_n(A)=P(A)$$f_n(A)=P(A)$

概率的性质：

• $P(\mathrm{\varnothing })=0$$P(\empty)=0$
• 有限可加性：若 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$$A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是两两互不相容的事件，则 $P(\bigcup _{i=1}^n{A}_i)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)$$P(\bigcup_{i=1}^nA_i)=\sum_{i=1}^nP(A_i)$
• 若 $A\subset B$$A\subset B$，则 $P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)\ge P(A)$$P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)\ge P(A)$ （可以理解为这是从 B 中”挖掉“一块 A）
• $\mathrm{\forall }A\subset S,P(A)\le 1$$\forall A\subset S,P(A)\le 1$
• 逆事件的概率：$P(\bar{A})=1-P(A)$$P(\overline A)=1-P(A)$
• 加法公式：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
• 减法公式：$P(A-B)=P(A)-P(AB)$$P(A-B)=P(A)-P(AB)$，特别地，如果 $B\subset A$$B\subset A$，则 $P(A-B)=P(A)-P(B)$$P(A-B)=P(A)-P(B)$

三、古典概型

考纲摘要：会计算古典型概率和几何型概率

0x00 古典概型的定义

具有以下特点的试验称作等可能概型（古典概型）：

• 试验的样本空间只包含有限个元素
• 试验中的每个基本事件发生的可能性相同

设试验的样本空间为 $S=\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$$S=\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$，则有：$P(\{e_1\})=P(\{e_2\})=\cdots =P(\{e_n\})$$P(\{e_1\})=P(\{e_2\})=\cdots=P(\{e_n\})$，$P(\{e_i\})=\frac{1}{n},i=1,2,\cdots ,n$$P(\{e_i\})=\cfrac1n,i=1,2,\cdots,n$ 若事件 $A$$A$ 包含 $k$$k$ 个基本事件，则 $P(A)=\frac{k}{n}$$P(A)=\cfrac kn$

0x01 超几何分布

场景：$N$$N$ 个产品中有 $K$$K$ 个次品，进行 $n$$n$ 次不放回取样，求恰有 $k$$k$ 件次品的概率。

所有取法的数量是 ${\mathbb{C}}_N^n$$\C_N^n$ 种，$K$$K$ 中取 $k$$k$ 件的取法有 ${\mathbb{C}}_K^k$$\C_K^k$ 种，$N-K$$N-K$ 件正品中取 $n-k$$n-k$ 件的取法有 ${\mathbb{C}}_{N-K}^{n-k}$$\C_{N-K}^{n-k}$ 种，因此恰好取到 $k$$k$ 件次品的取法有 ${\mathbb{C}}_K^k{\mathbb{C}}_{N-K}^{n-k}$$\C_K^k\C_{N-K}^{n-k}$ 种，所求概率即为 $\frac{{\mathbb{C}}_K^k{\mathbb{C}}_{N-K}^{n-k}}{{\mathbb{C}}_N^n}$$\cfrac{\C_K^k\C_{N-K}^{n-k}}{\C_N^n}$，这就是超几何分布的概率公式

${\mathbb{C}}_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$\C_n^m=\cfrac{n!}{m!(n-m)!}$

0x02 例题

//登记例题

四、条件概率

考纲摘要：理解条件概率的概念，掌握乘法公式

0x00 条件概率的定义

设 $A,B$$A,B$ 是两个事件，且 $P(A)>0$$P(A)>0$，称 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}$ 为在事件 $A$$A$ 发生的前提下事件 $B$$B$ 发生的条件概率 它显然符合概率定义中的三个条件：

• 非负性：$\mathrm{\forall }B\in S,P(B|A)\ge 0$$\forall B\in S,P(B|A)\ge 0$
• 规范性：$P(S|A)=0$$P(S|A)=0$
• 可列可加性：设 $B_1,B_2,\cdots B_n$$B_1,B_2,\cdots B_n$ 是两两互不相容的事件，则有 $P(\bigcup _{i=1}^n{B}_i|A)=\sum _{i=1}^{n}P(B_i|A)$$P(\bigcup_{i=1}^n B_i|A)=\sum_{i=1}^nP(B_i|A)$

乘法定理：设 $P(A)>0$$P(A)>0$，则有 $P(AB)=P(B|A)P(A)$$P(AB)=P(B|A)P(A)$，该式也称作乘法公式

0x01 全概率公式和贝叶斯公式

考纲摘要：掌握全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式

设 $S$$S$ 是事件 $E$$E$ 的样本空间， $B_1,B_2,\cdots ,B_n\subset E$$B_1,B_2,\cdots,B_n\subset E$，如果：

• $B_j{B}_j=\mathrm{\varnothing },i\ne j,i,j=1,2,\cdots ,n$$B_jB_j=\empty,i\ne j,i,j=1,2,\cdots,n$
• $\bigcup _{i=1}^n{B}_i=S$$\bigcup_{i=1}^nB_i=S$

则称 $B_1,B_2,\cdots B_n$$B_1,B_2,\cdots B_n$ 是样本空间 $S$$S$ 的一个划分。

基于此，全概率公式如下所示：

在很多实际问题中 $P(A)$$P(A)$ 不易直接求得，但却容易找到 $S$$S$ 的一个划分 $B_1,B_2,\cdots B_n$$B_1,B_2,\cdots B_n$ 且 $P(B_i)$$P(B_i)$ 和 $P(A|B_i)$$P(A|B_i)$ 已知或容易求得，那么就可以根据全概率公式求出 $P(A)$$P(A)$

同样基于以上划分定义中的符号，给出贝叶斯公式：

当 $n=2$$n=2$ 时的上述公式较为常用，如下所示：

• 全概率公式：$P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})$$P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|\overline B)P(\overline B)$
• 贝叶斯公式：$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(A|B)(B)}{P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})}$$P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{P(A|B)(B)}{P(A|B)P(B)+P(A|\overline B)P(\overline B)}$

五、事件独立性

考纲摘要：理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算、理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法

设 $A,B$$A,B$ 是两事件，如果满足等式 $P(AB)=P(A)P(B)$$P(AB)=P(A)P(B)$，则称事件 $A,B$$A,B$ 相互独立，简称独立

设 $P(A)>0,P(B)>0$$P(A)>0,P(B)>0$，则事件独立的性质如下：

• $P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A)$$P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A)$
• $A\text{与}\bar{B},\bar{A}\text{与}B,\bar{A}\text{与}\bar{B}$$A与\overline B,\overline A与B,\overline A与\overline B$ 也相互独立

推广到 3 个事件相互独立的定义： 设 $A,B,C$$A,B,C$ 是 3 个事件，则三者相互独立的条件为：

推广到 $n$$n$ 个事件 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$$A_1,A_2,\cdots,A_n$ 相互独立的定义：任意 $r,r\le n$$r,r\le n$ 个事件的积事件的概率都等于这 $r$$r$ 个事件的概率之积