概率论·5 大数定律和中心极限定理

考纲摘要

考纲摘要：了解切比雪夫不等式、了解切比雪夫大数定律

切比雪夫（Chebyshev）大数定理，也称切比雪夫不等式，是概率论中的一个重要结果，用于估计随机变量的分布偏离其期望值的概率。定理表明，对于任何具有有限期望值和有限方差的随机变量，其值偏离期望值超过某个特定范围的概率是有界的。

切比雪夫不等式 $X$ $E(X)=\mu$ $D(X)=\sigma^2$ ，则：

\forall ε > 0, P {| x - μ | \geq ε} \leq \frac{σ^{2}}{ε^{2}}

切比雪夫不等式的另一种表述：

\forall ε > 0, P {| x - μ | \geq ε σ} \leq \frac{1}{ε^{2}}

切比雪夫不等式的重要性在于它在没有关于随机变量的分布形状的任何假设下，提供了一个普遍适用的界限。这使得它在许多领域中都具有广泛的应用，包括统计学、工程学和金融学等。

考纲摘要：了解辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）

弱大数定理（辛钦大数定理）：

$X_1,X_2,\cdots$ $E(X_k)=\mu,k=1,2,\cdots$ ，则有：

\begin{matrix} \forall ε > 0, lim_{n \to \infty} P {| \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} X_{k} - μ | < ε} = 1 \\ \forall ε > 0, lim_{n \to \infty} P {| \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} X_{k} - μ | \geq ε} = 0 \end{matrix}

$\mu$ $X_1,\cdots,X_n$ $n$ $\cfrac1n\sum_{k=1}^n X_k$ $\mu$

考纲摘要：了解伯努利大数定律

$f_A$ $n$ $A$ $p$ $A$ 在每次试验中发生的概率，则

\begin{matrix} \forall ε > 0, lim_{n \to \infty} P {| \frac{f_{A}}{n} - p | < ε} = 1 \\ \forall ε > 0, lim_{n \to \infty} P {| \frac{f_{A}}{n} - p | \geq ε} = 0 \end{matrix}

伯努利大数定律表明，当试验次数很大时，可以用事件的频率代替事件的概率

考纲摘要：列维-林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）

$X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$ $E(X_k)=\mu,D(X_k)=\sigma^2,k=1,2,\cdots$ $\sum_{k=1}^n X_k$ 的标准化变量

Y_{n} = \frac{\sum_{k = 1}^{n} X_{k} - E (\sum_{k = 1}^{n} X_{k})}{\sqrt{D (\sum_{k = 1}^{n} X_{k})}} = \frac{\sum_{k = 1}^{n} X_{k} - n μ}{\sqrt{n} σ}

$F_n(x)$ 满足

\forall x, lim_{n \to \infty} F_{n} (x) = lim_{n \to \infty} P {\frac{\sum_{k = 1}^{n} X_{k} - n μ}{\sqrt{n} σ} \leq x} = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- t^{2} / 2} d t = Φ (x)

$n$ $n$ $N(0,1)$

考纲摘要：了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布）

$\eta_n,n=1,2,\cdots$ $n,p$ $x$ ，又

lim_{n \to \infty} P {\frac{η_{n} - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}} \leq x} = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- t^{2} / 2} d t = Φ (x)

考纲摘要：该定理不在 2024 年考研数学（一）的考试大纲内

$X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$ $E(X_k)=\mu_k,D(X_k)=\sigma_k^2,k=1,2,\cdots$ $B_n^2=\sum_{k=1}^n\sigma_k^2$

如果

\exists δ > 0, lim_{n \to \infty} \frac{1}{B_{n}^{2 + δ}} \sum_{k = 1}^{n} E {| X_{k} - μ_{k} |^{2 + δ}} = 0

$\sum_{k=1}^n X_k$ 的标准化变量

Z_{n} = \frac{\sum_{k = 1}^{n} X_{k} - E (\sum_{k = 1}^{n} X_{k})}{\sqrt{D (\sum_{k = 1}^{n} X_{k})}} = \frac{\sum_{k = 1}^{n} X_{k} - \sum_{k = 1}^{n} μ_{k}}{B_{n}}

$F_x(x)$ 满足

\forall x, lim_{x \to \infty} F_{n} (x) = lim_{x \to \infty} P {\frac{\sum_{k = 1}^{n} X_{k} - \sum_{k = 1}^{n} μ_{k}}{B_{n}} \leq x} = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- t^{2} / 2} d t = Φ (x)