线性代数·2 矩阵

考纲内容

矩阵基础概念和运算
- 矩阵的概念
- 矩阵的线性运算
- 矩阵的乘法
- 矩阵的转置
- 分块矩阵及其运算
方阵及其运算
- 方阵的幂
- 方阵乘积的行列式
- 逆矩阵的概念和性质
- 矩阵可逆的充分必要条件
- 伴随矩阵
矩阵变换与等价
- 矩阵的初等变换
- 初等矩阵
- 矩阵的秩
- 矩阵的等价

一、矩阵基础概念和运算

考纲摘要：掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律

0x00 矩阵的线性运算

1. 矩阵的加法

\begin{matrix} A + B = [\begin{matrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \dots & a_{1 n} + b_{1 n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \dots & a_{2 n} + b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} + b_{m 1} & a_{m 2} + b_{m 2} & \dots & a_{m n} + b_{m n} \end{matrix}] \end{matrix}

性质：

$A+B=B+A$
$(A+B)+C=A+(B+C)$

2. 矩阵的数乘

\begin{matrix} λ A = [\begin{matrix} λ a_{11} & λ a_{12} & \dots & λ a_{1 n} \\ λ a_{21} & λ a_{22} & \dots & λ a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ λ a_{m 1} & λ a_{m 2} & \dots & λ a_{m n} \end{matrix}] \end{matrix}

性质：

$(\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)$
$(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$
$\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$

0x01 矩阵的乘法

1. 矩阵乘法的定义

\begin{matrix} A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 j} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 j} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i j} \end{matrix}], B = [\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 k} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{j 1} & b_{j 2} & \dots & b_{j k} \end{matrix}], A B = [\begin{matrix} \sum_{t = 1}^{j} a_{1 t} b_{t 1} & \sum_{t = 1}^{j} a_{1 t} b_{t 2} & \dots & \sum_{t = 1}^{j} a_{1 t} b_{t k} \\ \sum_{t = 1}^{j} a_{2 t} b_{t 1} & \sum_{t = 1}^{j} a_{2 t} b_{t 2} & \dots & \sum_{t = 1}^{j} a_{2 t} b_{t k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \sum_{t = 1}^{j} a_{i t} b_{t 1} & \sum_{t = 1}^{j} a_{i t} b_{t 2} & \dots & \sum_{t = 1}^{j} a_{i t} b_{t k} \end{matrix}] (c_{x y} = \sum_{t = 1}^{j} a_{x t} b_{t y}) \end{matrix}

简单来说，矩阵乘法就是前行乘后列，因此前者的列数需要等于后者的行数，而最终乘出来的矩阵继承前者的行数和后者的列数

也可以利用矩阵分块法的形式来表示：

\begin{matrix} A B = [\begin{matrix} a_{1}^{T} \\ a_{2}^{T} \\ ⋮ \\ a_{m}^{T} \end{matrix}] (b_{1} & b_{2} & \dots & b_{n}) = [\begin{matrix} a_{1}^{T} b_{1} & a_{1}^{T} b_{2} & \dots & a_{1}^{T} b_{n} \\ a_{2}^{T} b_{1} & a_{2}^{T} b_{2} & \dots & a_{2}^{T} b_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m}^{T} b_{1} & a_{m}^{T} b_{2} & \dots & a_{m}^{T} b_{n} \end{matrix}] \end{matrix}

2. 矩阵乘法的性质

$\mathbf{AB}\ne\mathbf{BA}$
$(\mathbf{AB})\mathbf{C}=\mathbf A(\mathbf{BC})$
$\lambda(\mathbf{AB})=(\lambda \mathbf A)\mathbf B=\mathbf A(\lambda\mathbf B)$
$\mathbf A(\mathbf B+\mathbf C)=\mathbf {AB}+\mathbf {AC},(\mathbf B+\mathbf C)\mathbf A=\mathbf {BA}+\mathbf {CA}$

0x02 矩阵的转置

1. 矩阵转置的定义

\begin{matrix} A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 c} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 c} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{r 1} & a_{r 2} & \dots & a_{r c} \end{matrix}], A^{T} = [\begin{matrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{r 1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{r 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{1 c} & a_{2 c} & \dots & a_{r c} \end{matrix}] \end{matrix}

2. 矩阵转置的性质

$(\mathbf A^T)^T=\mathbf A$
$(\mathbf A+\mathbf B)^T=\mathbf A^T+\mathbf B^T$
$(\lambda\mathbf A)^T=\lambda A^T$
$(\mathbf{AB})^T=\mathbf B^T\mathbf A^T$

$A^T=A$ $A$ 是一个对称矩阵

0x03 矩阵分块法

考纲摘要：了解分块矩阵及其运算

1. 分块矩阵的转置

\begin{matrix} A = [\begin{matrix} A_{11} & \dots & A_{1 r} \\ ⋮ & ⋮ \\ A_{s 1} & \dots & A_{s r} \end{matrix}], A^{T} = [\begin{matrix} A_{11}^{T} & \dots & A_{s 1}^{T} \\ ⋮ & ⋮ \\ A_{1 r}^{T} & \dots & A_{s r}^{T} \end{matrix}] \end{matrix}

2. 分块对角矩阵

\begin{matrix} A = [\begin{matrix} A_{1} & O \\ A_{2} \\ ⋱ \\ O & A_{s} \end{matrix}] \end{matrix}

$A_i$ 是方阵。性质：

$|A|=|A_1||A_2|\cdots|A_n|$
$\begin{matrix} A^{- 1} = [\begin{matrix} A_{1}^{- 1} & O \\ A_{2}^{- 1} \\ ⋱ \\ O & A_{s}^{- 1} \end{matrix}], A^{T} = [\begin{matrix} A_{1}^{T} & O \\ A_{2}^{T} \\ ⋱ \\ O & A_{s}^{T} \end{matrix}] \end{matrix}$

0x04 特殊矩阵汇总

考纲摘要：理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质

二、方阵及其运算

0x00 方阵的幂

考纲摘要：了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质

0x01 方阵的行列式

考纲摘要：了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质

$A$ $\det A$ $|A|$ ，性质如下：

$|A|=|A^T|$
$|\lambda A|=\lambda^n|A|$ $n$ $A$ 的阶数
$|AB|=|A||B|$

0x02 逆矩阵

考纲摘要：理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵

1. 逆矩阵的定义

$n$ $A$ $n$ $B$ $AB=BA=E$ $B$ $A$ $B$ $A^{-1}$

逆矩阵的计算方法：

\begin{matrix} A^{- 1} = \frac{1}{| A |} A^{*}, A^{*} = [\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \dots & A_{n n} \end{matrix}] \end{matrix}

$A^*$ 被称作伴随矩阵，伴随矩阵的求法为：将矩阵的每一项替换成该项的代数余子式转置 $n$ $|A|\ne0$ $|A|=0$ ，则称之为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵

2. 逆矩阵的性质

$(A^{-1})^{-1}=A$
$(\lambda A)^{-1}=\frac1\lambda A^{-1}$
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

三、矩阵的变换与等价

考纲摘要：理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法

0x00 矩阵的初等变换与等价

矩阵有三种初等行变换

$i,j$ $r_i\leftrightarrow r_j$
$i$ $k$ $r_i\times k$
$i$ $k$ $j$ $r_j+kr_i$

将上述的行换成列，就是初等列变换，初等行变换与初等列变换统称为初等变换

$A$ $B$ $A$ $B$ 行等价 $A\overset{r}{\sim} B$
$A$ $B$ $A$ $B$ 列等价 $A\overset{c}{\sim} B$
$A$ $B$ $A$ $B$ 等价 $A\sim B$

矩阵的等价关系具有以下性质：

$A\sim A$
$A\sim B$ $B\sim A$
$A\sim B,B\sim C$ $A\sim C$

0x01 标准形矩阵

1. 行阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵的定义：

非 0 行在 0 行的上面
非 0 行的首个非 0 元所在列的上一行的首个非 0 元的所在列的右侧

如果在此基础上：

非 0 行的首个非 0 元为 1
每一个非 0 行的首个非 0 元所在列的其他元都为 0

则称之为行最简形矩阵，一个行最简形矩阵的例子如下：

\begin{matrix} B_{5} = [\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \end{matrix}

2. 标准形矩阵

对行最简型矩阵进行一些初等列变换，可以将其变为更简单的标准形，上面的矩阵可以化作标准型：

\begin{matrix} B_{5} = [\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \sim_{c_{5} - 4 c_{1} - 3 c_{2} + 3 c_{3}}^{\begin{matrix} c_{3} \leftrightarrow c_{4} \\ c_{4} + c_{1} + c_{2} \end{matrix}} [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] = F \end{matrix}

$m\times n$ $A$ ，都可以经过有限次初等变换将其化为标准形

\begin{matrix} F = {[\begin{matrix} E_{r} & O \\ O & O \end{matrix}]}_{m \times n} \end{matrix}

$m,n,r$ $r$ 就是行阶梯形矩阵中非 0 行的个数

0x02 矩阵初等变换的性质

1. 矩阵初等变换的基本性质

$A,B$ $m\times n$ 矩阵，则有：

$A\overset r\sim B$ $m$ $P$ $PA=B$
$A\overset c\sim B$ $n$ $Q$ $AQ=B$
$A\sim B$ $m$ $P$ $n$ $Q$ $PAQ=B$

2. 初等矩阵

初等矩阵 $E$ 经过一次初等变换得到的矩阵，三种初等矩阵：

$E(i,j)$ $E$ $i,j$ 两行/列对换
- $E(i,j)A$ $A$ $r_i\leftrightarrow r_j$
- $AE(i,j)$ $A$ $c_i\leftrightarrow c_j$
$E(i(k))$ $E$ $i$ $k$
- $E(i(k))A$ $A$ $r_i\times k$
- $AE(i(k))$ $A$ $c_i\times k$
$E(ij(k))$ $E$ $j$ $k$ $i$ $E$ $i$ $k$ $j$ 列上）
- $E(ij(k))A$ $A$ $r_i+kr_j$
- $AE(ij(k))$ $A$ $c_j+kc_i$

\begin{matrix} E (i, j) = [\begin{matrix} 1 \\ ⋱ \\ 1 \\ 0 & \dots & 1 \\ 1 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 \\ 1 & \dots & 0 \\ 1 \\ ⋱ \\ 1 \end{matrix}], E (i (k)) = [\begin{matrix} 1 \\ ⋱ \\ 1 \\ k \\ 1 \\ ⋱ \\ 1 \end{matrix}], E (i j (k)) = [\begin{matrix} 1 \\ ⋱ \\ 1 & \dots & k \\ ⋱ & ⋮ \\ 1 \\ ⋱ \\ 1 \end{matrix}] \end{matrix}

初等矩阵的逆矩阵：

$E(i,j)^{-1}=E(i,j)$
$E(i(k))^{-1}=E(i(\frac1k))$
$E(ij(k))^{-1}=E(ij(-k))$

3. 利用矩阵的初等变换求逆矩阵

$A_n$ 的逆矩阵，只需对以下矩阵：

[\begin{matrix} A_{n} & E_{n} \end{matrix}]

进行初等行变换，化成以下形式：

[\begin{matrix} E_{n} & B_{n} \end{matrix}]

$B_n=A_n^{-1}$

$\begin{bmatrix}0&-2&1\\3&0&-2\\-2&3&0\end{bmatrix}$ 的逆矩阵。过程如下：
$[\begin{matrix} 0 & - 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ - 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \overset{r_{2} + \frac{3}{2} r_{3}}{\sim} [\begin{matrix} 0 & - 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & - 2 & 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ - 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \overset{r_{2} + \frac{9}{4} r_{1}}{\sim} [\begin{matrix} 0 & - 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{9}{4} & 1 & \frac{3}{2} \\ - 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \overset{r_{2} \times 4}{\sim}$ $[\begin{matrix} 0 & - 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6 \\ - 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \overset{r_{1} - r_{2}}{\sim} [\begin{matrix} 0 & - 2 & 0 & - 8 & - 4 & - 6 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6 \\ - 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \overset{r_{1} \times - \frac{1}{2}}{\sim} [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 4 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6 \\ - 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \overset{r_{3} - 3 r_{1}}{\sim}$ $[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 4 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6 \\ - 2 & 0 & 0 & - 12 & - 6 & - 8 \end{matrix}] \overset{r_{3} \times - \frac{1}{2}}{\sim} [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 4 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 0 & 6 & 3 & 4 \end{matrix}] \sim [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 6 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6 \end{matrix}]$
$\begin{bmatrix}0&-2&1\\3&0&-2\\-2&3&0\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}6&3&4\\4&2&3\\9&4&6\end{bmatrix}$

0x03 矩阵的秩

$A$ $r$ $r+1$ $r$ $A$ 秩 $R(A)$

秩的计算方法：将矩阵化为行阶梯形矩阵，非零行的行数即为矩阵的秩

性质：

$R(A^T)=R(A)$
$A$ $m\times n$ $0\le R(A)\le\min\{m,n\}$
$A\sim B$ $R(A)=R(B)$
$P,Q$ $R(PAQ)=R(A)$
$\max\{R(A),R(B)\}\le R(A,B)\le R(A)+R(B)$
$R(A+B)\le R(A)+R(B)$
$A_{m\times n}B_{n\times l}=O$ $R(A)+R(B)\le n$