线性代数·3 向量

考纲内容

• 向量组与线性组合

  • 向量的概念
  • 向量的线性组合与线性表示

• 向量组的线性相关性

  • 向量组的线性相关与线性无关
  • 向量组的极大线性无关组
  • 等价向量组

• 向量组的秩

  • 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

• 向量空间

  • 向量空间及其相关概念
  • $n$$n$ 维向量空间的基变换和坐标变换
  • 过渡矩阵
  • 向量的内积
  • 线性无关向量组的正交规范化方法
  • 规范正交基
  • 正交矩阵及其性质

一、向量组及其线性表示

考纲摘要：

1. 理解 $n$$n$ 维向量、向量的线性组合与线性表示的概念
2. 理解向量组等价的概念

将若干个同维数的向量组成的集合叫做向量组，例如，这就是一个向量组：

对于上述向量组 $A$$A$，线性组合定义为：$k_1{a}_1+k_2{a}_2+\cdots +k_m{a}_m$$k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m$，$k_1,\cdots ,k_m$$k_1,\cdots,k_m$ 称作这个线性组合的系数

如果 $b=k_1{a}_1+k_2{a}_2+\cdots +k_m{a}_m$$b=k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m$，则称向量 $b$$b$ 能由向量组 $A$$A$ 线性表示。

向量 $b$$b$ 可以由向量组 $A$$A$ 线性表示的充要条件为：矩阵 $A$$A$ 与矩阵 $(A,b)$$(A,b)$ 的秩相等

现在设有另一个向量组 $B:b_1,b_2,\cdots b_l$$B:b_1,b_2,\cdots b_l$，如果 $B$$B$ 中的每个向量都可以由 $A$$A$ 线性表示，则称向量组 $B$$B$ 可以由 $A$$A$ 线性表示 如果向量组 $A$$A$ 与向量组 $B$$B$ 可以相互线性表示，则称这两个向量组等价

向量组 $B$$B$ 使用向量组 $A$$A$ 线性表示可以写成以下形式：

这里，$K$$K$ 就称作这一线性表示的系数矩阵

• 向量组 $B$$B$ 可以由向量组 $A$$A$ 线性表示的充要条件是 $R(A)=R(A,B)$$R(A)=R(A,B)$
• 向量组 $A,B$$A,B$ 等价的充要条件是 $R(A)=R(B)=R(A,B)$$R(A)=R(B)=R(A,B)$
• 如果向量组 $B$$B$ 可以由向量组 $A$$A$ 线性表示，则 $R(B)\le R(A)$$R(B)\le R(A)$

二、向量组的线性相关性

考纲摘要：理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法

0x00 线性相关的概念

对于向量组 $A:a_1,a_2,\cdots ,a_n$$A:a_1,a_2,\cdots,a_n$，如果存在不全为 0 的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_n$$k_1,k_2,\cdots,k_n$，使得：

则称向量组 $A$$A$ 是线性相关的，否则称它是线性无关的，上述定义式也可以写成以下形式：

显然，向量组 $A$$A$ 线性相关的充要条件是 $R(A)<n$$R(A)<n$，线性无关的充要条件是 $R(A)=n$$R(A)=n$

0x01 线性相关的性质

• 若向量组 $A:a_1,a_2,\cdots ,a_n$$A:a_1,a_2,\cdots,a_n$ 线性相关，则向量组 $B:a_1,a_2,\cdots ,a_n,a_{n+1}$$B:a_1,a_2,\cdots,a_n,a_{n+1}$ 线性相关。而如果 $B$$B$ 线性无关，则 $A$$A$ 线性无关

  线性相关的向量组多一个向量也线性相关，线性无关的向量组少一个向量也线性无关

• $m$$m$ 个 $n$$n$ 维向量组成的向量组，$n<m$$n<m$ 时一定线性相关

  线性相关的充要条件是向量组的秩小于向量个数 而根据矩阵的秩的性质，向量组的秩 $R\le min\{m,n\}$$R\le\min\{m,n\}$，在 $n<m$$n<m$ 时，$R\le n<m$$R\le n<m$，因此一定线性相关

• 若向量组 $A:a_1,a_2,\cdots ,a_n$$A:a_1,a_2,\cdots,a_n$ 线性无关，向量组 $B:a_1,a_2,\cdots ,b$$B:a_1,a_2,\cdots,b$ 线性相关，则 $b$$b$ 可以由 $A$$A$ 线性表示且表达式唯一

三、向量组的秩

0x00 最大无关组与向量组的秩

考纲摘要：

1. 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩
2. 理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系

设有向量组 $A$$A$，如果在 $A$$A$ 中可以选出 $r$$r$ 个向量 $A_0:a_1,a_2,\cdots ,a_r$$A_0:a_1,a_2,\cdots,a_r$，满足：

• 向量组 $A_0$$A_0$ 线性无关
• 向量组 $A$$A$ 中任意 $r+1$$r+1$ 个向量（如果有的话）都线性相关

那么向量组 $A_0$$A_0$ 被称作是向量组 $A$$A$ 的一个最大无关组，最大无关组所含的向量个数称作向量组的秩，记作 $R_A$$R_A$ 最大无关组还可以按照如下条件定义：

• 向量组 $A_0$$A_0$ 线性无关
• 向量组 $A$$A$ 的任意向量都可以由 $A_0$$A_0$ 线性表示

定理：矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩

考虑矩阵的秩的定义：设矩阵 $A$$A$ 中有一个不为 0 的 $r$$r$ 阶子式，且所有 $r+1$$r+1$ 子式（如果存在）均为 0，则称 $r$$r$ 为矩阵 $A$$A$ 的秩，记作 $R(A)$$R(A)$ 如果 $D_r$$D_r$ 是 $A$$A$ 的一个最高阶非零子式，则 $D_r$$D_r$ 所在的几列就是 $A$$A$ 的列向量组的最大无关组，所在的几行就是行向量组的最大无关组 也就是说，当我们将矩阵 $A$$A$ 化作行阶梯形矩阵后，非 0 行的首非 0 元所在列就是其列向量组的最大无关组

1. 最大无关组求解示例

求解以下矩阵的列向量组的最大无关组，并求出其他列使用该最大无关组的线性表示：

化作行阶梯形矩阵：

则 $A$$A$ 的列向量组的最大无关组就是 $a_1,a_2,a_4$$a_1,a_2,a_4$。进一步将其化作行最简型矩阵

由于只进行了行变换，列向量之间的线性关系是不变的，因此：

四、向量空间

了解 $n$$n$ 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念

0x00 与向量空间有关的诸定义

• 向量空间的定义：设 $V$$V$ 是 $n$$n$ 维向量的集合，如果集合 $V$$V$ 非空，且集合 $V$$V$ 对于向量的加法与数乘运算封闭，则称集合 $V$$V$ 是向量空间

• 由向量组 $A:a_1,a_2,\cdots ,a_m$$A:a_1,a_2,\cdots,a_m$ 生成的向量空间为：

  $$L=\{x={\lambda }_1{a}_1+{\lambda }_2{a}_2+\cdots +{\lambda }_m{a}_m|{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_m\in \mathbb{R}\}$$

• 设有向量空间 $V_1,V_2$$V_1,V_2$，若 $V_1\subseteq V_2$$V_1\subseteq V_2$，则称 $V_1$$V_1$ 是 $V_2$$V_2$ 的子空间

  注意：$V_1$$V_1$ 并不只是 $V_2$$V_2$ 这一向量的集合的子集， $V_1$$V_1$ 也需要满足对于向量的加法与数乘运算的封闭

• 设 $V$$V$ 是向量空间，如果 $r$$r$ 个向量 $A:a_1,a_2,\cdots ,a_r\in V$$A:a_1,a_2,\cdots,a_r\in V$ 线性无关且 $V$$V$ 中的所有向量均能由其线性表示 则称向量组 $A$$A$ 是 $V$$V$ 的一个基，$r$$r$ 称为向量空间 $V$$V$ 的维数，并称 $V$$V$ 为 $r$$r$ 维向量空间 显然，任何 $n$$n$ 个线性无关的 $n$$n$ 维向量都可以是向量空间 ${\mathbb{R}}^n$$\R^n$ 的一个基

• 如果在向量空间 $V$$V$ 中取定一个基 $a_1,a_2,\cdots ,a_r$$a_1,a_2,\cdots,a_r$，那么 $V$$V$ 中任意向量 $x$$x$ 可以唯一表示为 $x={\lambda }_1{a}_1+{\lambda }_2{a}_2+\cdots +{\lambda }_r{a}_r$$x=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\cdots+\lambda_ra_r$ ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_r$$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r$ 就称作向量 $x$$x$ 在基 $a_1,a_2,\cdots ,a_r$$a_1,a_2,\cdots,a_r$ 中的坐标 如果取 ${\mathbb{R}}^n$$\R^n$ 中单位坐标向量组 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$$e_1,e_2,\cdots,e_n$ 为基，则这个基叫做 ${\mathbb{R}}^n$$\R^n$ 的自然基

0x01 基变换公式和坐标变换公式

考纲摘要：了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵

在 ${\mathbb{R}}^n$$\R^n$ 中取两个基：$A:a_1,\cdots ,a_n,B:b_1,\cdots ,b_n$$A:a_1,\cdots,a_n,B:b_1,\cdots,b_n$

• 用 $A$$A$ 表示 $B$$B$ 的表示式称为基变换公式，也就是：$(b_1,\cdots ,b_n)=(a_1,\cdots ,a_n)A^{-1}B$$(b_1,\cdots,b_n)=(a_1,\cdots,a_n)A^{-1}B$，$P=A^{-1}B$$P=A^{-1}B$ 称作 $A$$A$ 到 $B$$B$ 的过渡矩阵
• 两个基中的坐标之间的关系式称为坐标变换公式

对于坐标变换公式，设向量 $x$$x$ 在 $A,B$$A,B$ 两个基中的坐标分别为 $(y_1,\cdots ,y_n),(z_1,\cdots ,z_n)$$(y_1,\cdots,y_n),(z_1,\cdots,z_n)$，则有：

则有：

这就是从 $A$$A$ 基中的坐标到 $B$$B$ 基中的坐标的坐标变换公式

五、正交基

考纲摘要：

1. 了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法。
2. 了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质

0x00 向量的内积和长度

设有两个 $n$$n$ 维向量 $x=(x_1,\cdots ,x_n{)}^T,y=(y_1,\cdots ,y_n{)}^T$$x=(x_1,\cdots,x_n)^T,y=(y_1,\cdots,y_n)^T$，则 $[x,y]=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i$$[x,y]=\sum_{i=1}^nx_iy_i$ 称作向量 $x,y$$x,y$ 的内积 上述情况中，$x,y$$x,y$ 都是列向量，因此内积也可以表示为：$[x,y]=x^{T}y$$[x,y]=x^Ty$

内积的性质：

• $[x,y]=[y,x]$$[x,y]=[y,x]$
• $[\lambda x,y]=\lambda [x,y]$$[\lambda x,y]=\lambda[x,y]$
• $[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$$[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$
• $x=0$$x=0$ 时，$[x,x]=0$$[x,x]=0$，否则 $[x,x]>0$$[x,x]>0$

根据这些性质可以证明施瓦茨不等式：$[x,y{]}^2\le [x,x][y,y]$$[x,y]^2\le[x,x][y,y]$

$n$$n$ 维向量 $x$$x$ 的长度（范数）的定义：

具有以下性质：

• 非负性：$x\ne 0$$x\ne0$ 时，$\parallel x\parallel >0$$\|x\|>0$，$x=0$$x=0$ 时，$\parallel x\parallel =0$$\|x\|=0$
• 齐次性：$\parallel \lambda x\parallel =|\lambda |\parallel x\parallel$$\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|$

$\parallel x\parallel =1$$\|x\|=1$ 时，$x$$x$ 称作单位向量，$x=\frac{a}{\parallel a\parallel }$$x=\frac{a}{\|a\|}$ 就是一个单位向量，这个由 $a$$a$ 变换为单位向量 $x$$x$ 的过程称作单位化

$n$$n$ 维向量 $x,y$$x,y$ 的夹角的定义：

$[x,y]=0$$[x,y]=0$ 时，称 $x,y$$x,y$ 正交

0x01 正交矩阵

一些定义如下：

• 设有 $n$$n$ 维向量组 $A:a_1,\cdots ,a_r$$A:a_1,\cdots,a_r$，$\mathrm{\forall }i,j\in \{1,\cdots ,r\},i\ne j,[a_i,a_j]=0$$\forall i,j\in\{1,\cdots,r\},i\ne j,[a_i,a_j]=0$（也就是每个向量都两两正交），则称之为正交向量组，它是线性无关的
• 如果正交向量组 $e_1,\cdots ,e_r$$e_1,\cdots,e_r$ 是正交向量组，且 $\parallel e_i\parallel =1,i=1,\cdots ,r$$\|e_i\|=1,i=1,\cdots,r$，同时它是向量空间 $V\subseteq {\mathbb{R}}^n$$V\subseteq \R^n$ 的一个基，则称它是 $V$$V$ 的一个标准正交基

设 $a_1,\cdots ,a_r$$a_1,\cdots,a_r$ 是向量空间 $V$$V$ 的一个基，要求 $V$$V$ 的一个标准正交基，也就是要找一组两两正交的单位向量 $e_1,\cdots ,e_r$$e_1,\cdots,e_r$，使得 $a_1,\cdots ,a_r$$a_1,\cdots,a_r$ 与 $e_1,\cdots e_r$$e_1,\cdots e_r$ 等价，这个问题就称作将 $a_1,\cdots ,a_r$$a_1,\cdots,a_r$ 正交化

以下是一种求解此问题的方法，称作施密特正交法，经过以下变换后，即可得到一组两两正交的向量 $b_1,\cdots ,b_r$$b_1,\cdots,b_r$：

当然，我们可以试着为上述施密特正交法取得一个通项的形式：

随后对 $b_1,\cdots ,b_r$$b_1,\cdots,b_r$ 进行单位化，即可得到这样的标准正交基 $e_1,\cdots ,e_r$$e_1,\cdots,e_r$：

如果 $n$$n$ 阶矩阵 $A$$A$ 满足 $A^{T}A=E$$A^TA=E$（也就是说，$A^{-1}=A^T$$A^{-1}=A^T$），则 $A$$A$ 称作正交矩阵，它有以下性质：

• 方阵 $A$$A$ 是正交矩阵的充要条件是它的行/列向量组是都是单位向量且两两正交
• 如果 $A$$A$ 是正交矩阵，则 $A^{-1}=A^T$$A^{-1}=A^T$ 也是正交矩阵，且 $|A|=\pm 1$$|A|=\pm1$
• 如果 $A,B$$A,B$ 都是正交矩阵，则 $AB$$AB$ 也是正交矩阵

如果 $P$$P$ 是正交矩阵，则线性变换 $y=Px$$y=Px$ 称作正交变换，其性质有：$\parallel y\parallel =\parallel x\parallel$$\|y\|=\|x\|$