线性代数·4 线性方程组

考纲内容

考纲摘要：会用克拉默法则

对于这样的方程：

[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}]

如果

\begin{matrix} | A | = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | \neq 0 \end{matrix}

则方程有唯一解，且有：

\begin{matrix} x_{i} = \frac{| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1, i - 1} & b_{1} & a_{1, i + 1} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2, i - 1} & b_{2} & a_{2, i + 1} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n, i - 1} & b_{n} & a_{n, i + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |}{| A |} \end{matrix}

考纲摘要：
理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法
掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

$Ax=0$ $n$ $R(A)<n$

齐次线性方程组的解向量具有以下性质：

$Ax=0$ $S$ $S$ $S_0:\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_t$ $S$ $S_0$ 线性表示，即

x = k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2} + \dots + k_{t} ξ_{t}

$Ax=0$ 通解 $S_0$ 称为该齐次线性方程组的基础解系

$A$ 的行最简型矩阵：

\begin{matrix} B = [\begin{matrix} 1 & \dots & 0 & b_{11} & \dots & b_{1, 1 - r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & \dots & 1 & b_{r 1} & \dots & b_{r, n - r} \\ 0 & \dots & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & \dots & \dots & 0 \end{matrix}] \end{matrix}

$Ax=0$ 的通解就是：

[\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{r} \\ x_{r + 1} \\ x_{r + 2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] = c_{1} [\begin{matrix} - b_{11} \\ ⋮ \\ - b_{r 1} \\ 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}] + c_{2} [\begin{matrix} - b_{12} \\ ⋮ \\ - b_{r 2} \\ 0 \\ 1 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}] + \dots + c_{n - r} [\begin{matrix} - b_{1, n - r} \\ ⋮ \\ - b_{r, n - r} \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix}]

$x_{r+1}=c_1,x_{r+2}=c_2,\cdots,x_n=c_{n-r}$ ，也就是说，化为行最简型矩阵后，0 行对应的未知数可以直接作为自由未知数，作为通解的系数

$x=c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots+c_{n-r}\xi_{n-r}$ ，

考纲摘要：
理解非齐次线性方程组有解的充分必要条件
理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念
掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

非齐次线性方程组的一般形式：

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ \dots \dots \cdot \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{m} \end{cases}

也可以写成：

[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}], A x = b

对于以上方程组：

$Ax=b$ $x=\eta_1,x=\eta_2$ $x=\eta_1-\eta_2$ $Ax=0$ 的解

$Ax=b$ 特解 $\eta^*$ ，则它的通解为：

x = k_{1} ξ_{1} + \dots + k_{n - r} ξ_{n - r} + η^{*}

$\xi_1,\cdots,\xi_{n-r}$ $Ax=0$ 的基础解系

求以下非齐次线性方程组的通解

[\begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 3 \\ 1 & - 1 & - 2 & 3 \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - \frac{1}{2} \end{matrix}]

对增广矩阵施加初等行变换：

[\begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & - 3 & 1 \\ 1 & - 1 & - 2 & 3 & - \frac{1}{2} \end{matrix}] \sim [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & - 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

即：

{\begin{cases} x_{1} = x_{2} + x_{4} + \frac{1}{2} \\ x_{3} = 2 x_{4} + \frac{1}{2} \end{cases}

显然，可以存在一个特解：

\begin{matrix} η^{*} = [\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{matrix}] \end{matrix}

考虑其所对应的齐次线性方程组：

{\begin{cases} x_{1} = x_{2} + x_{4} \\ x_{3} = 2 x_{4} \end{cases}

$(x_2,x_4)^T=(1,0)^T,(0,1)^T$ $(x_1,x_3)^T=(1,0)^T,(1,2)^T$

因此，其通解为：

\begin{matrix} x = c_{1} [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] + c_{2} [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{matrix}] \end{matrix}