线性代数·6 二次型

考纲内容

考纲摘要：
掌握二次型及其矩阵表示
了解二次型秩的概念
了解二次型的标准形、规范形的概念

$n$ $x_1,\cdots,x_n$ 的二元齐次函数

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i i} x_{i}^{2} + \sum_{i = 1}^{n - 1} \sum_{j = i + 1}^{n} 2 a_{i j} x_{i} x_{j}

称作二次型，它也可以写做如下形式：

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}

$a_{ij}=a_{ji}$

对于二次型，讨论的主要问题是，寻找可逆的线性变换：

[\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} c_{11} & \dots & c_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ c_{n 1} & \dots & c_{n n} \end{matrix}] [\begin{matrix} y_{1} \\ ⋮ \\ y_{n} \end{matrix}]

$f=k_1y_1^2+\cdots+k_ny_n^2$ ，这种只含平方项的二次型，称作二次型的标准型（或法式 $k_1,\cdots k_n$ $1,-1,0$ ，则称之为规范型

二次型的矩阵表示形式如下：

\begin{matrix} f = x^{T} A x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] \end{matrix}

$A$ 对称矩阵 $f$ $f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i,j=1}^na_{ij}x_ix_j$ $f=3x^2-3z^2-4xy+yz$ 的矩阵表示形式为s：

\begin{matrix} f = (x, y, z) [\begin{matrix} 3 & - 2 & 0 \\ - 2 & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & - 3 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] \end{matrix}

$A$ 称作 $f$ 的矩阵 $f$ 的秩 $f$ 也叫做 $A$ 的二次型

考纲摘要：
了解合同变换与合同矩阵的概念
掌握用正交变换化二次型为标准形的方法

$A,B$ $n$ $C$ $B=C^TAC$ $A,B$ 合同合同矩阵 $A$ $B$ 合同变换 $A$ $B$ 也是对称矩阵

$f$ $x=Cy$ 变成标准形，即：

\begin{matrix} y^{T} C^{T} A C y = (y_{1}, \dots, y_{n}) [\begin{matrix} k_{1} \\ ⋱ \\ k_{n} \end{matrix}] [\begin{matrix} y_{1} \\ ⋮ \\ y_{n} \end{matrix}] \end{matrix}

$C$ $C^TAC$ $A$ 正交矩阵 $P$ $P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda$ $f=\sum_{i,j=1}^na_{ij}x_ix_j$ $x=Py$ $f$ 化为标准形：

f = λ_{1} y_{1}^{2} + \dots λ_{n} y_{n}^{2}

$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ $A$ $f$ $z_i=1/\sqrt{y_i}$ 即可

利用正交变换将二次型变换成标准形，可以保持曲线的几何形状不变

考纲摘要：用配方法化二次型为标准形

拉格朗日配方法 $a(b_ix_i+\cdots+b_jx_j)^2$ 的式子，然后就可以直接找到可以将其化成标准形的线性变换。由于这个线性变换未必是正交变换，因此使用这种方法化标准形后曲线的几何形状可能会发生变化

//登记例题

考纲摘要：
掌握惯性定理
理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。

$f=x^TAx$ $r$ ，且有两个可逆变换：

x = C y, x = P z

使得：

\begin{matrix} f = k_{1} y_{1}^{2} + \dots + k_{n} y_{n}^{2}, k_{r} \neq 0 \\ f = λ_{1} z_{1}^{2} + \dots + λ_{n} z_{n}^{2}, λ_{r} \neq 0 \end{matrix}

$k_1,\cdots,k_r$ $\lambda_1,\cdots,\lambda_r$ 中正数的个数相等

$n$ $f(x)=x^TAx$

这个二次型是正定的充要条件是（几种等价表述）：

赫尔维兹定理表述如下：

$A$ $A$ 的各阶主子式都为正，即：

\begin{matrix} a_{11} > 0, | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} | > 0, \dots, | A | > 0 \end{matrix}

负定的充要条件是：所有奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正，即：

\begin{matrix} (- 1)^{r} | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 r} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{r 1} & \dots & a_{r r} \end{matrix} | > 0 \end{matrix}